【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(1)——参数曲线和曲面

【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(1)——参数曲线和曲面

几何造型技术

研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术；

70年代，已有不少实用化系统；

已应用于航空航天、汽车、机械、造船、建筑和电子等领域。

描述物体的三维模型: 线框模型、曲面模型、实体模型。

线框模型: 利用形体的顶点和棱边来表示物体。

曲面模型：通过有向棱边构成形体的表面，用面的几何表达相应的形体。

实体模型：定义一些基本体素，并通过集合运算将它们组合成复杂的几何形体。

参数曲线和曲面

曲线曲面参数表示

非参数表示

显式表示:y=f(x)，无法表示封闭或多值曲线，如圆。

隐式表示:f(x,y)=0，易于判断函数值与零的关系，确定点与曲线的关系。

存在下述问题：

与坐标轴相关；

会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)。

参数表示

参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数

平面曲线上任一点P: $P(t)=[x(t),y(t)]$

空间曲线上任一三维点P: $P(t)=[x(t),y(t),z(t)]$

参数表示例子：

直线：$P(t)=P_1+(P_2-P_1)t$

圆：$P(t)=[\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}]$

参数表示的优点：

满足几何不变性的要求；
有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状；
对参数方程进行几何变换即实现对曲线(面)的变换；
便于处理斜率为无穷大的情形；
参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，且对变量个数不限，便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去；
规格化的参数变量t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的，不必用另外的参数去定义边界；
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。

曲线的基本概念

1️⃣ 三维曲线

用参数表示的三维曲线是一个有界的点集，可以表示成一个带参数的、连续的和单值的数学函数：
$$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t),0\le t\le 1\\ z=z(t)\end{array}$$

2️⃣ 位置矢量

曲线上任一点的位置矢量可表示为：$P(t)=[x(t),y(t),z(t)]$

如存在k阶导数矢量，则：$P^k(t)=\frac{d^{k}P}{d{t}^k}$

3️⃣ 切矢量

选择弧长s作为参数，则 $T=\frac{dP}{ds}=\underset{\Delta s \to0}{\lim}\frac{\Delta P}{\Delta s} $ 是单位切矢量

根据弧长微分公式有：

于是有 $\frac{dP}{ds}=\frac{dP}{dt}.\frac{dt}{ds}=\frac{P^{\prime }(t)}{|P^{\prime }(t)|}$

即T 为单位矢量

4️⃣ 法矢量

所有垂直于切矢量T 的矢量有一束，且位于法平面上

$\frac{dT}{ds}$是与T垂直的矢量；与$\frac{dT}{ds}$平行的法矢称为曲线在该点的主法矢(N)

矢量积 $B=T\times N$ 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢量；

可以推导出：

T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；

N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。

5️⃣ 曲率和挠率

圆的半径越小，曲率越大

插值、拟合和光顺(掌握概念)

1️⃣ 插值: 给定一组有序的数据点Pi构造一条曲线顺序通过这些数据点，所构造的曲线称为插值曲线。

线性插值：$y=ax+b$

抛物线插值：$\phi (x)=a{x}^2+bx+c$

2️⃣ 拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，所构造的曲线为拟合曲线。

3️⃣ 逼近:在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方面的含义

包含插值和拟合

4️⃣ 过拟合：模型在训练集上效果很好，在测试集上效果差(不考)

5️⃣ 光顺(Fairing)：指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：

a. 具有二阶几何连续性(G2)

b. 不存在多余拐点和奇异点；

c. 曲率变化较小。

参数化

概念

过三点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可以有无数条：

对应地参数t, 在[0,1]区间中有无数种取法；

参数值称为节点(knot)。

对于一条插值曲线，型值点$P_0,P_1,...,P_n$与其参数域$t\in [t_0,t_n]$内的节点之间有一种对应关系：

对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割，称之为这组型值点的参数化。

参数化常用方法

1️⃣ 均匀参数化(等距参数化)；

节点在参数轴上呈等距分布, $t_{i+1}=t_i+正常数$。

2️⃣ 累加弦长参数化；

反映型值点按弦长的分布情况；

能克服均匀参数化所出现的问题。

3️⃣ 向心参数化法；

4️⃣ 修正弦长参数化法。

参数区间的规格化

我们通常将参数区间$[t_0,t_n]$规格化为[0,1]，$[t_0,t_n]\ne [0,1]$，只需对参数化区间作如下处理：
$$t_0=0,t_i=\frac{t_i}{t_n},i=0,1,...,n$$

参数曲线的代数和几何形式(了解一下)

以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式

代数形式

上述代数式写成矢量式是

几何形式

对三次参数曲线，可用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P¢(0)、P‘(1)描述。

将P(0)、P(1)、P’(0)和P‘(1)简记为P0、P1、P‘0和P’1，代入

，得

令

简化为

上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式

•几何系数：$ P_0、P_1、P’_0和P’_1$

•调和系数：$F_0、F_1、G_0、G_1$

参数$F_0,F_1$专门控制端点的函数值对曲线的影响；

参数$G_0,G_1$专门控制端点的一阶导数值对曲线的影响。

连续性

设计制造时，组合多段曲线，因此需要解决曲线段之间的光滑连接问题。

曲线间连接的光滑度的度量(会考概念)

参数连续性：组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，称为n阶参数连续性$C^n$

几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于$C^n$的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性$G^n$。

介于n-1阶参数连续性和n阶参数连续性之间

同阶参数连续性的要求比几何连续性高

引进几何连续的重要性

举例

第$\Phi (t)$在[0,2]上表示一条连接$V_0,V_1$的直线段；

左右导数不等: $\Phi (1^{-})=\frac{1}{3}(V_1-V_0),\Phi (1^{+})=\frac{2}{3}(V_1-V_0)$

参数连续描述光滑性不恰当。

举例说明

对于参数$t\in [0,1]$的两条曲线P(t)和Q(t)

1️⃣ 若要求在结合处达到$C^0$连续或$G^0$连续，即两曲线在结合处位置连续：$P(1)=Q(0)$

2️⃣ 若要求在结合处达到$G^1$连续，就是说两条曲线在结合处在满足$G^0$连续的条件下，并有公共的切矢
$$Q^{\prime }(0)=\alpha P^{\prime }(1)(\alpha >0)$$
当$\alpha =1$时， $G^1$连续就成为$C^1$ 连续

若P 和Q 在连接处已有$C^0{C}^1$连续性且曲率的大小和方向均相等，即$P^{\prime \prime }(1)=Q^{\prime \prime }(0)$则P 和Q 在连接处具有$C^2$连续

若P 和Q 在连接处已有$C^0{C}^1$连续性且曲率的大小不相等但方向相等，则P 和Q 在连接处具有$G^2$连续。

3️⃣ 若要求在结合处达到$G^2$连续，就是说两条曲线在结合处在满足$G^1$连续的条件下，并有公共的曲率矢：

这个关系可写为

$\beta$为任意常数，当$\alpha =1,\beta =0$时，$G^2$连续就成了$C^2$连续

参数曲面基本概念

一张定义在矩形域上的参数曲面可以表示为

可记为

曲面上的点：将给定的参数值$u_0,v_0$代入参数方程，可得曲面上的点$P(u_0,v_0)$

曲面上一点的切向量(切矢)：
$$\frac{\partial P(u,v)}{\partial u}|u=u_0,v=v_0\frac{\partial P(u,v)}{\partial v}|u=u_0,v=v_0$$
曲面上一点的法向(法矢)：

角点：$P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)$

边界线：$P(u,0),P(u,1),P(0,w),P(1,w)$