2021-11-04

前言

最近学习 The ElGamal Cryptosystem, 涉及到近世代数的很多知识，因此翻出来曾经的课本，把循环群这一节的重点定义和定理做了摘录，有错误的地方欢迎指正~
循环群是一种很重要的群，也是一种已经被完全解决了的群，也就是说这种群的元素表达方式和运算规则，以及在同构意义下这种群有多少个和它们子群的状况等等都已经完全研究清楚了。

一、定义1：生成系M

（一）子群：用子群来研究群是研究群的重要方法之一

<定义> 设 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个非空子集. 如果 $H$ 本身对 $G$ 的乘法也做成一个群，则称 $H$ 为群 $G$ 的一个子群.

（二) <$M$> 称为群 $G$ 中由 $M$生成的子群，并把 $M$ 称叫做这个子群的生成系.

逻辑解释：设 $M$ 是群 $G$ 的任意一个非空子集，$G$ 中包含 $M$ 的子群总是存在的，比如 $G$ 本身就是一个，现在用<$M$> 表示 $G$ 中包含 $M$的一切子群的交，则<$M$>仍然是 $G$ 中包含 $M$ 的一个子群，而且 $G$ 中任何一个子群，只要包含 $M$，就必然包含 $<M>$. 所以， $<M>$ 是群 $G$ 中包含 $M$ 的最小子群.

二、 循环群

（一）定义

1. 如果群 $G$ 可以由一个元素 $a$ 生成，即 $G=<a>$，则称 $G$ 为由 $a$ 生成的一个循环群，并称 $a$ 为 $G$ 的一个生成元.
2. < a > <a> 是由一切形如 $a^k$ 的元素作成的群，亦即
   {$\cdots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,a^3,\cdots$}
3. n 次单位根群 $U_n$ 是一个 n 阶循环群.
   设 $ϵ$ 是一个 n 次原根，则 $ϵ$ 是 $U_n$ 的一个生成元，且 $U_n=<ϵ>=1,ϵ,\cdots ,{ϵ}^{n-1}$.
   4. 整数加群 $\mathbb{Z}$ 是无限循环群.
      $\mathbb{Z}=<1>$

( 二 ) 定理

1. <定理一> 设 G = < a > G = G=<a> 为任一循环群，则
   （1）当 $|a|=\infty$时， G = < a > G = G=<a> 为无限循环群，且与整数加群 $\mathbb{Z}$ 同构.
   （2）当 $|a|=n$时， G = < a > G= G=<a> 为 $n$ 阶循环群，且与 $n$ 次单位根群 $U_n$同构.
2. <定理二> $n$ 阶群 $G$ 是循环群 $\iff$ $G$有$n$阶元素.
3. <定理三> 无限循环群 < a > <a>有两个生成元，即$a$ 与 $a^{-1}$; $n$阶循环群有$\varphi (n)$个生成元，其中$\varphi (n)$为Euler函数.
   证明：当$|a|=\infty$时， < a > <a>只有两个生成元$a$和$a^{-1}$显然.
   当$|a|=n$时，元素$a^k(0<k<n)$是 < a > <a>的生成元当且仅当$a^k$的阶也是n,即$(k,n)=1$. 从而 < a > <a>有$\varphi (n)$个生成元.
4. <定理四> 循环群的子群仍为循环群.
5. <定理六> 无限循环群 $G$ 有无限多个子群；当 G = < a > G = G=<a>为 n 阶循环群时，对 n 的每个正因数k, $G$ 有且仅有一个 k 阶子群，这个群就是 $<a^{\frac{n}{k}}>$ .

附录

1. 群的定义：如果非空集合G有代数运算$\circ$满足
   (1) 结合律成立, 即对 $G$ 中的任意元素 $a$, $b$, $c$ 都有 $(a\circ b)\circ b=a\circ (b\circ c)$;
   (2) $G$ 中有元素 $e$, 叫做 $G$ 的左单位元，它对G中每个元素 $a$ 都有 $e\circ a=a$;
   (3) 对 $G$ 中每个元素 $a$, 在 $G$ 中都有元素 $a^{-1}$, 叫做 $a$ 的左逆元，使得 $a^{-1}\circ a=e$,
   则称 $G$ 对这个代数运算做成一个群.

2. 群中元素的阶：
   设 $a$ 为群 $G$ 的一个元素，使得 $a^n=e$ 的最小整数 $n$, 叫做元素 $a$ 的阶.
   元素 $a$ 的阶常用 $|a|$来表示.

总结

主要做知识的回顾，定理的证明没有敲出来，需要的朋友可以评论私信我~