4 二面体群

正三角形的二面体群

  前文讲到了一个正多边形的旋转构成了循环群，也讲了正三角形的symmetry group。如果只保留Symmetry group的一个对称轴，就构成了二面体群Dihedral group。需要注意的是，symmetry group的对称轴是变动的，比如S1是由点1所在的对称轴，随着各种运动，点1 的位置变化了，那么S1的对称轴也跟着变化。而二面体群的对称轴是绝对位置，与旋转到什么状态没有关系。这唯一的对称轴的操作叫做翻转flip，缩写为f。之所以称为二面体群，是因为他的凯莱图，呈现一个二面体形状。二面体是几何里，对各种柱体的专门名词。下图是正三角形的旋转和翻转形成的二面体群$D_3$。红色线条代表旋转，蓝色线条代表翻转。

  但是教科书上一般不这么画，我这样画是为了解释清楚为什么叫二面体。一般是这样画:

翻转操作

  需要注意的是,对于$D_3$以下等式成立：
$$\begin{gathered} rf\cdot rf=e \\ {r}^{2}f\cdot r^{2}f=e \end{gathered}$$
  所以$r^{2}f$和$rf$都是翻转。由此乘法表如下：
$$\begin{array}{ccccccc}\cdot & e& r& r^2& f& rf& r^{2}f\\ e& e& r& r^2& f& rf& r^{2}f\\ r& r& r^2& e& rf& r^{2}f& f\\ r^2& r^2& e& r& r^{2}f& f& rf\\ f& f& r^{2}f& rf& e& r^2& r\\ rf& rf& f& r^{2}f& r& e& r^2\\ r^{2}f& r^{2}f& rf& f& r^2& r& e\end{array}$$
  所以呢，正三角形的symmetry group实际上是和$D_3$同构的。用$S_1$代替$D_3$中的$f$，$S_2$代替$r^{2}f$,$S_3$代替$rf$，就可以了，所以这两个群是一样的群。