leetcode-1015. 可被 K 整除的最小整数

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力扣icon-default.png?t=M0H8https://leetcode-cn.com/problems/smallest-integer-divisible-by-k/

题目

给定正整数 k ,你需要找出可以被 k 整除的、仅包含数字 1 的最 小 正整数 n 的长度。

返回 n 的长度。如果不存在这样的 n ,就返回-1。

注意: n 不符合 64 位带符号整数。

示例

示例 1:
输入:k = 1
输出:1
解释:最小的答案是 n = 1,其长度为 1。

示例 2:
输入:k = 2
输出:-1
解释:不存在可被 2 整除的正整数 n 。

示例 3:
输入:k = 3
输出:3
解释:最小的答案是 n = 111,其长度为 3。

提示

  • 1 <= k <= 10e5

思路

这题重点应该在数学证明,首先我们可以得出:

结论一:当k%2等于0或者k%5等于0时,必然不存在解,否则必然存在解。

原因:只有当k的结尾为1,3,7,9时,才能得到1结尾的数,而当k的结尾为0,2,4,5,6,8时必然不可能得到结尾为1的数,因此当k%2等于0或者k%5等于0时,必然不存在解。而反过来,当k的结尾为1,3,7,9时,必然存在解,这个结论待证。

光有以上结论还无法解出该题,因为会涉及到k过大而数据溢出的问题,如下所示。

class Solution {
public:
    int smallestRepunitDivByK(int k) {
        if(k%2==0||k%5==0) return -1;
        long long int num=1;
        int n=1;
        while(num%k) 
        {
            num=num*10+1;
            n++;
        }
        return n;
    }
};

 leetcode-1015. 可被 K 整除的最小整数_第1张图片

 因此,我们还需要借助以下结论:

结论二:(n*10+1)%K = ((n%K)*10+1)%K

证明:

  • 设n=p*K+q
  • 则n*10+1=10*p*K+q*10+1;
  • 有n%K=q
  • 有(n*10+1)%K=(10*p*K+q*10+1)%K=(q*10+1)%K
  • 又((n%K)*10+1)%K=(q*10+1)%K
  • 推断出:(n*10+1)%K = ((n%K)*10+1)%K

有了以上结论,我们便可以把数据n*10+10转变成n%k来求解,从而缩小k的大小。

C++ Code

class Solution {
public:
    int smallestRepunitDivByK(int k) {
        if(k%2==0||k%5==0) return -1;
        long long int num=1;
        int n=1;
        while(num%k) 
        {
            num=num%k;
            num=num*10+1;
            n++;
        }
        return n;
    }
};

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