leetcode-1015. 可被 K 整除的最小整数

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力扣https://leetcode-cn.com/problems/smallest-integer-divisible-by-k/

题目

给定正整数 k ，你需要找出可以被 k 整除的、仅包含数字 1 的最 小 正整数 n 的长度。

返回 n 的长度。如果不存在这样的 n ，就返回-1。

注意： n 不符合 64 位带符号整数。

示例

示例 1：
输入：k = 1
输出：1
解释：最小的答案是 n = 1，其长度为 1。

示例 2：
输入：k = 2
输出：-1
解释：不存在可被 2 整除的正整数 n 。

示例 3：
输入：k = 3
输出：3
解释：最小的答案是 n = 111，其长度为 3。

提示

• 1 <= k <= 10e5

思路

这题重点应该在数学证明，首先我们可以得出：

结论一：当k%2等于0或者k%5等于0时，必然不存在解，否则必然存在解。

原因：只有当k的结尾为1,3,7,9时，才能得到1结尾的数，而当k的结尾为0,2,4,5,6,8时必然不可能得到结尾为1的数，因此当k%2等于0或者k%5等于0时，必然不存在解。而反过来，当k的结尾为1,3,7,9时，必然存在解，这个结论待证。

光有以上结论还无法解出该题，因为会涉及到k过大而数据溢出的问题，如下所示。

class Solution {
public:
    int smallestRepunitDivByK(int k) {
        if(k%2==0||k%5==0) return -1;
        long long int num=1;
        int n=1;
        while(num%k) 
        {
            num=num*10+1;
            n++;
        }
        return n;
    }
};

 

 因此，我们还需要借助以下结论：

结论二：(n*10+1)%K = ((n%K)*10+1)%K

证明：

• 设n=p*K+q
• 则n*10+1=10*p*K+q*10+1;
• 有n%K=q
• 有(n*10+1)%K=(10*p*K+q*10+1)%K=(q*10+1)%K
• 又((n%K)*10+1)%K=(q*10+1)%K
• 推断出：(n*10+1)%K = ((n%K)*10+1)%K

有了以上结论，我们便可以把数据n*10+10转变成n%k来求解，从而缩小k的大小。

C++ Code

class Solution {
public:
    int smallestRepunitDivByK(int k) {
        if(k%2==0||k%5==0) return -1;
        long long int num=1;
        int n=1;
        while(num%k) 
        {
            num=num%k;
            num=num*10+1;
            n++;
        }
        return n;
    }
};