TOPSIS算法与熵权法

TOPSIS算法

英文全称Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution，翻译为逼近理想解排序法。使用层次分析法进行评价时，n不能很大，最多就15个，再多就没有随机一致性指标RI的值了。当评价的对象比较多的时候，我们可以利用数据信息进行评价。

基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

三种指标与正向化方法

• 极小型指标转化为极大型指标：$max-x$，或者 $1/x$
• 中间型指标转化为极大型指标：
  首先得到距离最远的值：$M=\max \{|x_i-x_{best}|\}$，然后计算该对象这个指标正向化后的值：$\widetilde{x_i}=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M}$
• 区间型指标转化为极大型指标：
  首先计算距离这个区间最远的值： $M=\max \{a-\min \{x_i\},\max \{x_i\}-b\}$
  $\widetilde{x_i}=1-\frac{a-x_i}{M},x_i<a$
  $\widetilde{x_i}=1,a<=x_i<=b$
  $\widetilde{x_i}=1-\frac{x_i-b}{M},x_i>b$

计算方法

（1）原始矩阵正向化
将矩阵中的极小型，中间型和区间型指标正向化为极大型指标
（2）正向化矩阵标准化
$z_{ij}=x_{ij}/\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}$
也就是每一个元素/其所在列的元素平方和开平方
（3）计算得分和归一化排序

• 计算每一列的最大值 $Z^{+}$ 和最小值 $Z^{-}$
• 计算每个对象与最大值的距离$D^{+}$ 和最小值 $D^{-}$
• 得分：$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$
• 归一化：$\widetilde{S_i}=S_i/{\sum }_{i=1}^n{S}_i$

代码

使用熵权法确定权重

clear;clc
load data_water_quality.mat

%%  第二步：判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);

if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]
    % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
    for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    end
    disp('正向化后的矩阵 X =  ')
    disp(X)
end

%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)


%% 让用户判断是否需要增加权重
disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")
Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
if Judge == 1
    Judge = input('使用熵权法确定权重请输入1，否则输入0： ');
    if Judge == 1
        if sum(sum(Z<0)) >0   % 如果之前标准化后的Z矩阵中存在负数，则重新对X进行标准化
            disp('原来标准化得到的Z矩阵中存在负数，所以需要对X重新标准化')
            for i = 1:n
                for j = 1:m
                    Z(i,j) = [X(i,j) - min(X(:,j))] / [max(X(:,j)) - min(X(:,j))];
                end
            end
            disp('X重新进行标准化得到的标准化矩阵Z为:  ')
            disp(Z)
        end
        weight = Entropy_Method(Z);
        disp('熵权法确定的权重为：')
        disp(weight)
    else
        disp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);
        weight = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);
        OK = 0;  % 用来判断用户的输入格式是否正确
        while OK == 0 
            if abs(sum(weight) -1)<0.000001 && size(weight,1) == 1 && size(weight,2) == m  % 注意，Matlab中浮点数的比较要小心
                OK =1;
            else
                weight = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');
            end
        end
    end
else
    weight = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
end


%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

我更改后的Positivization文件代码：

function [change_x] = Positive_Change(src_x, type, index)
if type == 1 
    disp(['极小型的列：' num2str(index)]);
    change_x = max(src_x) - src_x;
    disp('----------极小型正向化完成----------')
elseif type == 2
    disp(['中间型的列：' num2str(index)]);
    best_num = input('请输入该指标最好的值：');
    M = max(abs(src_x - best_num));     % 得到距离最远的值
    change_x = 1 - abs(src_x - best_num)/M;
    disp('----------中间型正向化完成----------')
elseif type == 3
     disp(['区间型的列：' num2str(index)]);
     L = input('区间上界：');
     R = input('区间下界：');
     row_x = size(src_x, 1);
     M = max([L - min(src_x), max(src_x) - R]);
     
     for i = 1 : row_x
         if src_x(i) < L    % 距离上界的大小
             change_x(i) = 1 - (L - src_x(i)) / M;
         elseif src_x(i) > R % 距离下界的大小
             change_x(i) = 1 - (src_x(i) - R) / M;
         else
             change_x(i) = 1;
         end
     end
     disp('----------区间型正向化完成----------')
else
    disp('类型输入错误!');
end
end

熵权法

层次分析法的权重大多是由自己确定的，主观性太强。熵权法是一种客观赋权方法，当数据变异程度越小，可以理解为方差越小，数据所含的信息越小，权重也就越低。常常使用差学生考生清华和好学生考上清华做为例子对比。

但是熵权法也有自己的弊端，对于一些极端情况，有些指标的变异程度虽然非常小，但是可能其权重很大，例如在评选奖学金的时候记档案次数和迟到次数，通过熵权法得到这两个指标的权值与实际常识不符。

信息熵

当越有可能发生的事情，信息量越小；当越不可能发生的事情，信息量越多。
我们使用概率表示事情发生的可能性大小，也就是概率与信息量呈反比，我们可以使用对数函数前加负号表示它们之间的关系。

设$x$为事件$X$发生的一种情况，这种情况发生的概率为$p(x)$，那么它的信息量 可以定义为：$I(x)=-\ln (p(x))$。如果事件$X$所有可能发生的情况为：$x_1,x_2,...,x_n$
那么事件$X$的信息熵可以定义为：
$H(x)={\sum }_{i=1}^n[p(x_i)I(x_i)]=-{\sum }_{i=1}^n[p(x_i)\ln (p(x_i))]$
可以看出信息熵其实是信息量的期望值。
当所有事件发生的情况概率相同时，信息熵最大（了解）

计算步骤

（1）首先对输入的矩阵进行正向化，对构成的正向化矩阵进行标准化得到矩阵$Z$，$Z$的元素：$Z_{ij}=x_{ij}/\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}$
如果Z中存在负数，需要对$X$使用另一种标准化方法得到$\tilde{Z}$：
$\widetilde{z_{ij}}=\frac{x_{ij}-\min \{x_{1j},x_{2j},...x_{nj}\}}{\max \{x_{1j},x_{2j},...x_{nj}\}-\min \{x_{1j},x_{2j},...x_{nj}\}}$
即x减去这一列最小值除去这一列的最大值减最小值

（2）计算第$j$项指标下第i个样本的比重，将其看作相对熵计算中的概率
$p_{ij}=\frac{\widetilde{z_{ij}}}{{\sum }_{i=1}^n\widetilde{z_{ij}}}$

（3）计算每个指标的信息熵，并计算信息有效值，归一化得到每个指标的熵权
信息熵的计算公式：$e_j=-\frac{1}{\ln n}{\sum }_{i=1}^n{p}_{ij}\ln (p_{ij})$

• 当$p(x_1)=p(x_2)=...=p(x_n)=\frac{1}{n}$时$H(x)$最大，此时$H(x)=\ln n$，除以$\ln n$可以使信息熵始终位于$[0,1]$上面。
• 当$e_j$越大，j指标的信息熵越大，那么第j个指标所包含的信息越少，当$H(x)$取得最大值的时候$p_{1j}=p_{2j}=...=p_{nj}$，那么$\widetilde{z_{1j}}=\widetilde{z_{2j}}=...=\widetilde{z_{nj}}$，即所有的指标值都相同，信息效用值最小。
• 信息效用值：$d_j=1-e_j$，当信息效用值越大，对应的信息越多。
• 我们将信息效用值进行归一化，就能得到每个指标的熵权：$W_j=d_j/{\sum }_{j=1}^m{d}_j$

代码

从得到标准化矩阵$Z$开始

function [W] = Entropy_Method(Z)
% 计算有n个样本，m个指标的样本所对应的的熵权
% 输入
% Z ： n*m的矩阵（要经过正向化和标准化处理，且元素中不存在负数）
% 输出
% W：熵权，1*m的行向量

%% 计算熵权
    [n,m] = size(Z);
    D = zeros(1,m);  % 初始化保存信息效用值的行向量
    for i = 1:m
        x = Z(:,i);  % 取出第i列的指标
        p = x / sum(x);
        % 注意，p有可能为0，此时计算ln(p)*p时，Matlab会返回NaN，所以这里我们自己定义一个函数
        e = -sum(p .* mylog(p)) / log(n); % 计算信息熵
        D(i) = 1- e; % 计算信息效用值
    end
    W = D ./ sum(D);  % 将信息效用值归一化，得到权重    
end