NUAA&XMU---朱林昊

数值代数课设(99分)--基于Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代对泊松方程的求解[matlab](上)

基于Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代对泊松方程的求解

摘要

随着大数据时代的到来，人们需要处理的数据越来越多，所需要考虑的条件因素也在增加。在工程方面，人们所需要处理的问题往往会转化为找出大规模方程组的解的问题，而找出大规模方程组的解的计算复杂度非常的高，因此设计一些高效并且较为精准的算法来求解大规模方程组的近似解显的尤为重要。本文以着一维和二维泊松方程为例子，考虑了Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代这三种经典迭代对于求解一维和二维泊松方程的速度与准度，用matlab 写出了相关代码，并且进行了对比与分析，最后得出了如下结论：SOR迭代的求解一维和二维泊松方程的速度最快，GS迭代次之，Jacobi迭代最慢，但是SOR迭代的速度依赖于松弛变量ω，并且当ω=1时，SOR迭代的速度与GS迭代的速度相同（在理论上可以证明）。当然，本文也考虑了不同松弛变量ω对于SOR迭代的速度的影响，发现，松弛变量ω在区间[1.2,1.6]之间时，SOR迭代的速度达到最快。

关键词：Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代，泊松方程，matlab
Based on Jacobi iteration, GS iteration and SOR iteration to solve Poisson equation
Abstract
With the advent of the era of big data, people need to deal with more and more data, and the factors that need to be considered are also increasing. In engineering, the problem that people need to deal with is often transformed into the problem of finding the solution of large-scale equations, and the computational complexity of finding the solution of large-scale equations is very high, so it is particularly important to design some efficient and more accurate algorithms to solve the approximate solution of large-scale equations. In this paper, taking the one-dimensional and two-dimensional Poisson equation as an example, three classical iterations, Jacobi iteration, GS iteration and SOR iteration, are considered to compare and analyze the speed and accuracy of solving the one-dimensional and two-dimensional Poisson equation. At last, the following conclusions are drawn: the speed of solving one-dimensional and two-dimensional Poisson equation by sor iteration is the fastest, GS iteration is the second, Jacobi iteration is the slowest, but the speed of solving one-dimensional and two-dimensional Poisson equation by sor iteration is the fastest The speed depends on the relaxation variable ω, and when ω = 1, the speed of SOR iteration is the same as that of GS iteration (which can be proved theoretically). Of course, this paper also considers the influence of different relaxation variables ω on the speed of SOR iteration. It is found that when the relaxation variables ω are between intervals [1.2,1.6], the speed of SOR iteration is the fastest.

Keywords: Jacobi iteration, GS iteration, SOR iteration, Poisson equation，matlab

一、问题简介
考虑泊松方程（一维和二维）。比较Jacobi迭代，G-S迭代和SOR迭代求解离散Poisson方程的效率，在离散化中使用中心差分近似。
问题背景:泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，尤其是在静电学中，在这里很容易遇到泊松方程。
二、使用方法及其分析
2.1.理论方法
2.1.1总体思路
我们先将泊松方程的系数矩阵进行一个分裂：

我们可以先用M来近似代替A，则我们考虑方程：

三、测试例子和结果
3.1.一维泊松方程
3.1.1.三种迭代第一种方式（（1）式）对比
在本次测试中，我们选取不同的分割细度n,初值条件，测试了Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代这三种迭代方式对于求解一维泊松方程达到相同精度时，比较他们所需时间，迭代步数，误差大小等信息。
1.Jacobi迭代

维数n

初值 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=1 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=0 x=0时的初值条件U(0)=0
x=1时的初值条件U(1)=1
n=5 迭代步数为:80
cpu时间为:0.000960 迭代步数为:77
cpu时间为:0.000940 迭代步数为:77
cpu时间为:0.000940
n=10 迭代步数为:252
cpu时间为:0.002321 迭代步数为:244
cpu时间为:0.002694 迭代步数为:244
cpu时间为:0.002686
n=15 迭代步数为:519
cpu时间为:0.005216 迭代步数为:491
cpu时间为:0.006030 迭代步数为:491
cpu时间为:0.004651

2.GS迭代

维数n

初值 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=1 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=0 x=0时的初值条件U(0)=0
x=1时的初值条件U(1)=1
n=5 迭代步数为:41
cpu时间为:0.000676 迭代步数为:38
cpu时间为:0.000588 迭代步数为:40
cpu时间为:0.000599
n=10 迭代步数为:127
cpu时间为:0.001700 迭代步数为:120
cpu时间为:0.001239 迭代步数为:123
cpu时间为:0.001189
n=15 迭代步数为:255
cpu时间为:0.003256 迭代步数为:241
cpu时间为:0.003108 迭代步数为:245
cpu时间为:0.002490

3.SOR迭代

维数n

初值 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=1 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=0 x=0时的初值条件U(0)=0
x=1时的初值条件U(1)=1
n=5 迭代步数为:25
cpu时间为:0.000519 迭代步数为:24
cpu时间为:0.000425 迭代步数为:25
cpu时间为:0.000416
n=10 迭代步数为:84
cpu时间为:0.001036 迭代步数为:79
cpu时间为:0.001074 迭代步数为:81
cpu时间为:0.001145
n=15 迭代步数为:169
cpu时间为:0.002122 迭代步数为:159
cpu时间为:0.001940 迭代步数为:163
cpu时间为:0.002270

误差向量范数图片（n=5，x=0时的初值条件U(0)=1，x=1时的初值条件U(1)=1）：

分析：
1.通过对比在不同维数，不同初值下Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代这三种迭代方式对于求解一维泊松方程达到相同精度时，他们所需cpu时间，迭代步数，我们可以看出SOR迭代比较好，因为他的迭代步数少，cpu时间短，而Jacobi迭代比较差，因为他的迭代步数多，cpu时间长。
2.通过横向和纵向比较，我们发现，初值对cpu时间，迭代步数影响不大，但是，维数对cpu时间，迭代步数影响较大

3.1.2.三种迭代第二种方式（（2）式）对比
在本次测试中，我们选取不同的分割细度n,初值条件，测试了Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代这三种迭代方式对于求解一维泊松方程达到相同精度时，比较他们所需时间，迭代步数，误差大小等信息。
1.Jacobi1迭代

维数n

初值 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=1 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=0 x=0时的初值条件U(0)=0
x=1时的初值条件U(1)=1
n=5 迭代步数为:81
cpu时间为:0.000876 迭代步数为:78
cpu时间为:0.001069 迭代步数为:78
cpu时间为:0.000997
n=10 迭代步数为:253
cpu时间为:0.003969 迭代步数为:245
cpu时间为:0.003152 迭代步数为:245
cpu时间为:0.003506
n=15 迭代步数为:520
cpu时间为:0.007711 迭代步数为:492
cpu时间为:0.008893 迭代步数为:492
cpu时间为:0.007350

2.GS1迭代

维数n

初值 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=1 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=0 x=0时的初值条件U(0)=0
x=1时的初值条件U(1)=1
n=5 迭代步数为:42
cpu时间为:0.000636 迭代步数为:39
cpu时间为:0.000635 迭代步数为:41
cpu时间为:0.000667
n=10 迭代步数为:128
cpu时间为:0.002025 迭代步数为:121
cpu时间为:0.002108 迭代步数为:124
cpu时间为:0.001451
n=15 迭代步数为:256
cpu时间为:0.003981 迭代步数为:242
cpu时间为:0.004628 迭代步数为:246
cpu时间为:0.004564

3.SOR1迭代

维数n

初值 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=1 x=0时的初值条件U(0)=1
x=1时的初值条件U(1)=0 x=0时的初值条件U(0)=0
x=1时的初值条件U(1)=1
n=5 迭代步数为:26
cpu时间为:0.000418 迭代步数为:25
cpu时间为:0.000430 迭代步数为:26
cpu时间为:0.000436
n=10 迭代步数为:85
cpu时间为:0.001150 迭代步数为:80
cpu时间为:0.001195 迭代步数为:82
cpu时间为:0.001119
n=15 迭代步数为:170
cpu时间为:0.003529 迭代步数为:160
cpu时间为:0.003593 迭代步数为:164
cpu时间为:0.003454

3.1.3.Jacobi迭代两种实现方式对比
在本次测试中，我们选取不同的分割细度n,初值条件，测试了Jacobi迭代，两种不同方式对于求解一维泊松方程达到相同精度时，比较他们所需时间，迭代步数，误差大小等信息。
1.Jacobi迭代

维数n

2.Jacobi1迭代

维数n

误差向量范数图片（n=5，x=0时的初值条件U(0)=1，x=1时的初值条件U(1)=1）：

分析
1.通过比较两种jacobi迭代的cpu时间和迭代次数，我们发现，在维数较小的情况下，两种迭代方法的效率差不多，但是随着n的变大，我们发现，第一种jacobi迭代cpu时间都明显小于第二种迭代的cpu时间.
2.通过横向和纵向比较，我们发现，初值对cpu时间，迭代步数影响不大，但是，维数对cpu时间，迭代步数影响较大

3.1.4.GS迭代两种实现方式对比
在本次测试中，我们选取不同的分割细度n,初值条件，测试了GS迭代，两种不同方式对于求解一维泊松方程达到相同精度时，比较他们所需时间，迭代步数，误差大小等信息。
1.GS迭代

维数n

2.GS1迭代

维数n

误差向量范数图片（n=5，x=0时的初值条件U(0)=1，x=1时的初值条件U(1)=1）：

分析：
1.通过比较两种GS迭代的cpu时间和迭代次数，我们发现，在维数较小的情况下，两种迭代方法的效率差不多，但是随着n的变大，我们发现，第一种GS迭代cpu时间都明显小于第二种迭代的cpu时间.
2.通过横向和纵向比较，我们发现，初值对cpu时间，迭代步数影响不大，但是，维数对cpu时间，迭代步数影响较大

3.1.5.SOR迭代两种实现方式对比
在本次测试中，我们选取不同的分割细度n,初值条件，测试了GS迭代，两种不同方式对于求解一维泊松方程达到相同精度时，比较他们所需时间，迭代步数，误差大小等信息。
1.SOR迭代

维数n

2.SOR1迭代

维数n

误差向量范数图片（n=5，x=0时的初值条件U(0)=1，x=1时的初值条件U(1)=1）：

分析：
1.通过比较两种SOR迭代的cpu时间和迭代次数，我们发现，在维数较小的情况下，两种迭代方法的效率差不多，但是随着n的变大，我们发现，第一种SOR迭代cpu时间都明显小于第二种迭代的cpu时间.
2.通过横向和纵向比较，我们发现，初值对cpu时间，迭代步数影响不大，但是，维数对cpu时间，迭代步数影响较大

3.1.6.SOR迭代中ω的值对迭代的影响
在本次测试中，我们选取n=5,初值条件U(0)=1,U(1)=1,b=zeros(n,1)，f(x)=x^2+x+1+exp(x)，测试了SOR迭代，在ω取不同值的时候，对于求解一维泊松方程在达到相同精度时，比较他们所需时间，迭代步数，误差大小等信息。

松弛变量ω的取值迭代步数，cpu时间
w=0.100000 迭代步数为:800，cpu时间为:0.005910
w=0.200000 迭代步数为:379，cpu时间为:0.004643
w=0300000 迭代步数为:239，cpu时间为:0.003080
w=0.400000 迭代步数为:168，cpu时间为:0.001416
w=0.500000 迭代步数为:126，cpu时间为:0.001711
w=0.600000 迭代步数为:98，cpu时间为:0.001366
w=0.700000 迭代步数为:78，cpu时间为:0.001172
w=0800000 迭代步数为:62，cpu时间为:0.000790
w=0.900000 迭代步数为:50，cpu时间为:0.000786
w=1.000000 迭代步数为:41，cpu时间为:0.000688
w=1.100000 迭代步数为:32，cpu时间为:0.000542
w=1.200000 迭代步数为:25，cpu时间为:0.000287
w=1.300000 迭代步数为:18，cpu时间为:0.000249
w=1.400000 迭代步数为:15，cpu时间为:0.000367
w=1.500000 迭代步数为:19，cpu时间为:0.000231
w=1.600000 迭代步数为:25，cpu时间为:0.000297
w=1.700000 迭代步数为:35，cpu时间为:0.000540
w=1.800000 迭代步数为:57，cpu时间为:0.000533
w=1.900000 迭代步数为:119，cpu时间为:0.001056

图片较多，就放了四张:
ω=0.2 ω=0.7
:

我们拟合了一下w和迭代次数的关系
w和迭代次数的关系: -907.2834 w^5 + 5397.1052 w^4 - 12047.5579 w^3 + 12601.6016 w^2- 6265.6695 w + 1277.8504

分析：图中可以看出当松弛变量ω在[1.2,1.6]之间时，此时SOR迭代次数少，而且所需时间短。
3.2.二维泊松方程
3.2.1.三种迭代第一种方式（（1）式）对比
在本次测试中，我们选取不同的分割细度n,初值条件，测试了Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代这三种迭代方式对于求解一维泊松方程达到相同精度时，比较他们所需时间，迭代步数，误差大小等信息。
1.Jacobi迭代