CINTA作业七：同态
同构、同态与商群
文章目录
- 同构、同态与商群
- 前言
- 一、证明 9.3
- 二、证明 9.5
- 三、证明 9.7
- 四、证明 9.9
前言
实践中存在着很多不同的代数系统，有些系统是同类型的，有些不但是同类型的，而且具有共同的运算性质，因此是同种的。
本章着重介绍了群关系的映射和群的分解
一、证明 9.3
解： ∵ \because ∵ H 1 H_1 H1 和 H 2 H_2 H2 是群 G 的正规子群
∴ \therefore ∴ 则群 H 1 H_1 H1 H 2 H_2 H2 显然满足封闭性
又因为 H 1 H_1 H1 和 H 2 H_2 H2 中均存在单位元 e
所以群 H 1 H_1 H1 H 2 H_2 H2 中必存在单位元 e
由命题 6.10 知，
有限群 G 的非空子集 H 1 H_1 H1 H 2 H_2 H2 是群 G 的子群，当且仅当 H 1 H_1 H1 H 2 H_2 H2 中的元素在群 G 的操作下满足
∴ \therefore ∴ 群 H 1 H_1 H1 H 2 H_2 H2 也是群 G 的子群
且对 ∀ \forall ∀ g ∈ \in ∈ G，有 g H 1 gH_1 gH1 = H 1 g H_1g H1g 和 g H 2 gH_2 gH2 = H 2 g H_2g H2g
即对任意给定的 g ∈ \in ∈ G 和 h 1 h_1 h1 ∈ \in ∈ H 1 H_1 H1，存在 h 1 ′ h_1^{'} h1′ ∈ \in ∈ H ! H_! H!，使得 g h 1 h_1 h1 = h 1 ′ h_1^{'} h1′g
同理，对任意给定的 g ∈ \in ∈ G 和 h 2 h_2 h2 ∈ \in ∈ H 2 H_2 H2，存在 h 2 ′ h_2^{'} h2′ ∈ \in ∈ H ! H_! H!，使得 g h 2 h_2 h2 = h 2 ′ h_2^{'} h2′g
∴ \therefore ∴ g h 1 h_1 h1 h 2 h_2 h2 = h 1 ′ h_1^{'} h1′g h 2 h_2 h2 = h 1 ′ h_1^{'} h1′ h 2 ′ h_2^{'} h2′g
∵ \because ∵ h 1 h_1 h1 h 2 h_2 h2， h 1 ′ h_1^{'} h1′ h 2 ′ h_2^{'} h2′ ∈ \in ∈ H 1 H_1 H1 H 2 H_2 H2
∴ \therefore ∴ g g g ( H 1 H_1 H1 H 2 H_2 H2) = ( H 1 H_1 H1 H 2 H_2 H2) g g g
∴ \therefore ∴ H 1 H_1 H1 H 2 H_2 H2 也是群 G 的正规子群
二、证明 9.5
解：
（1）充分性：
∵ \because ∵ ϕ \phi ϕ 是一种群同态
∴ \therefore ∴ 对于 ∀ \forall ∀ a,b ∈ \in ∈ G，有 ϕ \phi ϕ (a•b) = ϕ \phi ϕ (a) ○ ϕ \phi ϕ (b) = ϕ \phi ϕ (b•a)
∴ \therefore ∴ a•b = b•a
∴ \therefore ∴ G 是阿贝尔群
（2）必要性：
∵ \because ∵ G 是阿贝尔群
∴ \therefore ∴ 对于 ∀ \forall ∀ a,b ∈ \in ∈ G，有 a•b = b•a
∴ \therefore ∴ ϕ \phi ϕ (a•b) = ( a • b ) 2 (a•b)^2 (a•b)2 = a•b•a•b = a 2 a^2 a2 • b 2 b^2 b2 = ϕ \phi ϕ (a) ○ ϕ \phi ϕ (b)
∴ \therefore ∴ ϕ \phi ϕ 是一种群同态
综上所述， ϕ \phi ϕ 是一种群同态当且仅当 G 是阿贝尔群
三、证明 9.7
解：由题， [ [ [ G \mathbb{G} G : H \mathbb{H} H ] ] ] = 2 2 2
(1) 若 g g g ∈ H \in H ∈H，则 g H gH gH = H H H = H g Hg Hg
(2) 若 g g g ∈ H ′ \in H^{'} ∈H′ （ H ′ H^{'} H′= G − H G-H G−H)
若 g H gH gH ≠ \neq = H H H ， H g Hg Hg ≠ \neq = H H H
有 g H gH gH = H ′ H^{'} H′ = H g Hg Hg
四、证明 9.9
解：设 G \mathbb{G} G 是由 g 生成的循环群
令 H \mathbb{H} H ≤ \leq ≤ G \mathbb{G} G
我们要证明商群 G \mathbb{G} G / / / H \mathbb{H} H中的任意元素都可表示为 ( g H ) k (gH)^k (gH)k ，其中 k k k ∈ \in ∈ Z \mathbb{Z} Z
设 x x x H \mathbb{H} H ∈ \in ∈ G \mathbb{G} G / / / H \mathbb{H} H
∵ \because ∵ G \mathbb{G} G 是由 g 生成的循环群
∴ \therefore ∴ x = g k g^k gk, k k k ∈ \in ∈ Z \mathbb{Z} Z
∴ \therefore ∴ ( g H ) k (gH)^k (gH)k = ( g k g^k gk) H \mathbb{H} H = x x x H \mathbb{H} H
∴ \therefore ∴ g H gH gH 产生 G \mathbb{G} G / / / H \mathbb{H} H
∴ \therefore ∴ 商群 G \mathbb{G} G / / / H \mathbb{H} H 也是循环群