矩阵 A乘A的转置是否一定正定？ NO！！！
矩阵 A T A A^{T}A ATA 是否一定正定？NO！
注意，并不要求 A A A 是方阵，记 A A A 是 m × n m\times n m×n 的矩阵。则
x T A T A x = ( A x ) T A x = ∥ A x ∥ 2 ≥ 0 x^{T}A^{T}Ax=(Ax)^{T}Ax= \lVert Ax\rVert^{2} \ge 0 xTATAx=(Ax)TAx=∥Ax∥2≥0
其中 x x x 是 n × 1 n\times 1 n×1 的向量， A T A A^{T}A ATA 是 n × n n\times n n×n 的方阵。
由上面的不等式我们知道 A T A A^{T}A ATA 是半正定的。
而且，
- 如果 m = n m = n m=n ， A T A A^{T}A ATA 是正定的当且仅当 A A A 是可逆矩阵（满秩）。
- 当 m < n m < n m<n ， A T A A^{T}A ATA 一定是半正定的。
- 当 m > n m >n m>n ，看具体矩阵，可能正定，可能半正定。
附录：
关于 case 1的证明，取
y = A x y=Ax y=Ax
则
x T A T A x = ( A x ) T A x = y T y x^{T}A^{T}Ax=(Ax)^{T}Ax=y^{T}y xTATAx=(Ax)TAx=yTy
注意一个显而易见的事实, y T y ≥ 0 y^Ty \ge 0 yTy≥0 永远成立。
当 y T y = 0 y^Ty=0 yTy=0 意味着 y = 0 ⃗ y=\vec{0} y=0 ，注意 y = A x y=Ax y=Ax，即 A x = 0 ⃗ Ax = \vec{0} Ax=0 ，当 A A A 满秩 该方程才只有唯一零解，得证。
关于 case2 的证明:
由于 r a n k ( A ) ≤ m i n { m , n } = m < n rank(A) \le min\{m,n\}=m
又 y = A x = 0 ⃗ y=Ax= \vec{0} y=Ax=0 方程的基础解系的秩 等于 n − r a n k ( A ) > 0 n-rank(A) >0 n−rank(A)>0
所以，存在 非零向量 使得 y = A X = 0 ⃗ y=AX=\vec{0} y=AX=0
这不符合 正定的定义。