线性方程组解个数的判定和求解

线性方程组解个数的判定和求解

线性方程组解的判定

含有 $m$ 个方程， $n$ 个未知数(unknowns)的线性方程组的一般形式如下：
$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$
即
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$$
文中出现的矩阵 $\mathbf{A}$ 都是 $m\times n$ 的矩阵。

齐次线性方程组

当一般线性方程组所有方程等号右边的常量都取 $0$ 时，它就是所谓的齐次线性方程组，即
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$$
由于齐次线性方程组一定有 平凡解 $\mathbf{x}=0$ ，所以没有解不存在的情况。

判定定理1：齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 $r(\mathbf{A})=n$ ，即系数矩阵列满秩

判定定理2：齐次线性方程组有基础解系（无穷解）的充分必要条件是 $r(\mathbf{A})<n$

定理1，可以由 Rank-Nullity Theorem 直接推出。当 系数矩阵是 方阵，可以由 克拉默法则推出。

定理2其实是定理1的言下之意，因为矩阵的值小于等于$min\{m,n\}$ ，必定小于等于 $n$，不是等于，那必然是小于。

非齐次线性方程组

记 矩阵 $B$ 为
$$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}& \begin{array}{c}\mathbf{b}\end{array}\end{array}\right]$$

则有如下定理：

判定定理3：非齐次线性方程组无解的充分必要条件是 $r(A)<r(B)$，即系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩。

判定定理4：非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 $r(A)=r(B)=n$

判定定理5：非齐次线性方程组有无穷解的充分必要条件是 $r(A)=r(B)<n$

注：.对增广矩阵作初等行变换，得到行阶梯型，进而得到行最简型。取 $r=r(A)$个主元素为非自由自变量，剩余 $n-r$ 个变量为自由自变量。如果 $r=n$， 这意味着没有 自由自变量，故有唯一解。

线性方程组求解

齐次线性方程组

非齐次线性方程组