最小二乘法线性拟合介绍以及matlab实现

0.写在前面

最小二乘法在工程中得到了广泛的应用，应用最多的是直线拟合（线性拟合），这里做一下总结。首先我们从原理来认识一下线性拟合，然后利用matlab多种方法进行线性参数拟合。

1.原理介绍

给定一系列$x_i$，$y_i(i=1,2,\cdots ,N)$，假定它们具有线性关系，即可以用$y=kx+b$的方式进行拟合，我们的任务是找到最优参数k和b使得$x_i$、$y_i$和直线$y=kx+b$最大程度接近，这个时候最小二乘法就派上用场了。

为了描述最小二乘法拟合参数k和b的效果，我们需要定义一个优化函数，为了避免正负相消，所以使用残差（实际观察值与估计值（拟合值）之间的差）平方和来定义：

$f=\Sigma (y_i-k{x}_i-b{)}^2$

当拟合效果最好时，残差平方和最小是显然的，问题转化为求解$f$为极值点时，$k$和$b$为多少？

解决极值点问题，我们需要对$k$和$b$分别求偏导数并使其为0：

式(1)

式(2)

由式(2)括号内为0，则有b的表达式：

式(3)

将式(3)代入到式(2)中得到式(4)

式(4)

整理式(4)我们可以得到k的表达式：

式(5)

所以最终$k$和$b$的表达式可以表示为：

式(6)

如果用线性代数的角度来看其实矩阵表达更加简洁，我们最终需要寻找最佳的$k$和$b$：

式(7)

写成矩阵的形式：

式(8)

令

我们可以写成矩阵形式：

式(9)

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\mathbf{K}$

我们要解K，这时候X如果是方阵那么自然的就可以左右两边同时乘X的逆，但是如果X不是方阵（行数大于列数），我们可以左右同乘以X的转置，转换为方阵再取逆(当然能取逆的前提是行列式不能为0)，具体如下，求得的逆叫做伪逆：

式(10)

所以解得K的值：

式(11)

2.matlab实现

现在有这么一组数据

我们利用matlab进行绘制散点图查看一下

x=[0.1;0.3;0.4;0.75;0.9]; 
y=[1.7805;2.2285;2.3941;3.2226;3.5697];
plot(x,y,'o')
xaxis(0,1);
yaxis(1.6,3.7);
hold on;

可以看出满足很好的线性关系，下面我们用上述最小二乘法的思想求一下拟合直线的$k$和$b$：

方法1：代数方法计算

利用公式(6)

我们来计算一下

% 方法1：代数方法计算
N=length(x);
k=(sum(y.*x)-N*mean(y)*mean(x))/(sum(x.^2)-N*mean(x)^2);
b=mean(y)-k*mean(x);
x_line=linspace(0,1,101);
y_line=k*x_line+b;
plot(x_line,y_line,'Color','r','LineWidth',1)

查看k和b的值：

k=2.2411
b=1.5409

方法2：伪逆方法计算

利用公式(11)

按照前面的原理进行编写：

% 方法2：伪逆计算
N=length(x);
X=[x,ones(N,1)];
Y=y;
K=inv(X'*X)*X'*Y;
k=K(1);
b=K(2);
x_line=linspace(0,1,101);
y_line=k*x_line+b;
plot(x_line,y_line,'Color','r','LineWidth',1)

查看k和b的值：

k=2.2411
b=1.5409

方法3：利用matlab自带的lsqcurvefit函数计算（拟合非线性函数，应用更广）

matlab自带的lsqcurvefit函数也可以进行最小二乘拟合（还可以拟合非线性函数），其调用方式为：

各输入参数含义：

• fun：函数的表达式，使用匿名函数或另外定义一个函数的m文件
• x0：拟合参数的初始值
• xdata：自变量x数据
• ydata：因变量y数据
• lb：参数的下限
• ub：参数的上限
• options：设置步长、精度等

我们使用函数的第一种方法进行参数的拟合：

% 方法3：利用matlab自带的lsqcurvefit函数计算
fun=@(K,x)K(1)*x+K(2);
K0=[1,1];
K=lsqcurvefit(fun, K0, x,y)
k=K(1);
b=K(2);
x_line=linspace(0,1,101);
y_line=k*x_line+b;
plot(x_line,y_line,'Color','r','LineWidth',1)

查看k和b的值：

k=2.2411
b=1.5409

方法4：利用matlab自带的polyfit函数计算（多项式函数拟合）

polyfit函数可以用来最小二乘匹配函数。Matlab 包括一个标准函数，对多项式进行最小二乘匹配运算。函数 polyfit 用一系列数据对 N 阶多项式进行最小二乘匹配运算。其中N是任意大于等于1。

当 N=1 时，得到的是直线方程，得到拟合直线方程的斜率k和b，调用该函数的形式如下：

p = polyfit(x,y,n)

其中xx，y 代表向量 x，y，n 代表阶次，这里我们就选择n=1，然后我们可以编写下面的代码：

K=polyfit(x,y,1);
k=K(1);
b=K(2);
x_line=linspace(0,1,101);
y_line=k*x_line+b;
plot(x_line,y_line,'Color','r','LineWidth',1)

查看k和b的值：

k=2.2411
b=1.5409

结果是一样的。

总结

介绍了最小二乘法拟合直线的两种观点：代数计算和伪逆方法计算，并且利用上述两种方法以及matlab自带的lsqcurvefit和polyfit两种函数使用matlab进行了拟合，可以看到结果是一样的。