神经网络和深度学习（7）-- 梯度下降算法

神经网络和深度学习
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【前言】

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1.什么是梯度下降算法

顾名思义，梯度下降法的计算过程就是沿梯度下降的方向求解极小值（局部最小值）。
初始化参数时参数选取不同，在梯度下降时所沿着的最大梯度下降方向可能不同，如下图所示：


百度百科 说， 梯度下降是迭代法的一种,可以用于求解最小二乘问题(线性和非线性都可以)。在求解机器学习算法的模型参数，即无约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent）是最常采用的方法之一，另一种常用的方法是最小二乘法。在求解损失函数的最小值时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数和模型参数值。

2. 一个梯度下降的数学例子

如求函数 f(x)=x²的最小值。
利用梯度下降的方法解题步骤如下：
1、求梯度， ▽=2x
2、向梯度相反的方向移动 x ，如下

，其中， γ为步长。如果步长足够小，则可以保证每一次迭代都在减小，但可能导致收敛太慢，如果步长太大，则不能保证每一次迭代都减少，也不能保证收敛。
3、循环迭代步骤2，直到 x的值变化到使得 f(x) 在两次迭代之间的差值足够小，比如0.00000001，也就是说，直到两次迭代计算出来的f(x) 基本没有变化，则说明此时 f(x) 已经达到局部最小值了。
4、此时，输出x ，这个x 就是使得函数 f(x) 最小时的 x的取值 。

3. 梯度下降的作用

在你测试集上，通过最小化代价函数（成本函数）J(w,b)来训练的参数 w和b ܾ


在上图中，横轴表示你的空间参数 w和 ܾb，在实践中，w可以是更高的维度，但是为 了更好地绘图，我们定义w 和 ܾb，都是单一实数，代价函数（成本函数）J(w,b)是在水平轴w和 ܾb上的曲面，因此曲面的高度就是 J(w,b)在某一点的函数值。我们所做的就是找到使得 代价函数（成本函数）J(w,b)函数值是最小值，对应的参数w和 ܾb。
初始化参数 w 和b ܾ可以采用随机初始化的方法，对于逻辑回归几乎所有的初始化方法都有效，因为函数是凸函数，无论在哪里初始化，应该达到同一 点或大致相同的点。

我们以如图的小红点的坐标来初始化参数w和b .朝最陡的下坡方向走一步，不断地迭代:

我们朝最陡的下坡方向走一步，如图，走到了如上图中第二个小红点处。

我们可能停在这里也有可能继续朝最陡的下坡方向再走一步，如上图，经过两次迭代走到 第三个小红点处。直到走到全局最优解或者接近全局最优解的地方，如下图：

通过以上的步骤我们可以找到全局最优解，也就是代价函数（成本函数）J(w,b)这 个凸函数的最小值点。

4. 梯度下降参数的更新

注：：= 表示更新参数，α表示学习率（learning rate）用来控制步长,一般学习率大于零。
这样做的原因：
（假定代价函数（成本函数）J只有一个参数 w，即用一维曲线J(w)代替多维曲线，这样可以更好画出图像。）

• 斜率大于零
  
  对于导数更加形象化的理解就是斜率（slope），如图该点的导数就是这个点相切于J(w) 的小三角形的高除宽。假设我们以如图点为初始化点，该点处的斜率的符号是正的，即 ݀
  
  所以接下来会向左走一步:
  
  整个梯度下降法的迭代过程就是不断地向左走，直至逼近最小值点。

• 斜率小于零
  
  假设我们以如图点为初始化点，该点处的斜率的符号是负的，即݀
  
  所以接下 来会向右走一步：
  
  整个梯度下降法的迭代过程就是不断地向右走，即朝着最小值点方向走。

• 斜率等于零
  
  当求导等于零（斜率为零）参数就不再更新，此时已经得到代价函数的极小值

【注意】

1. α表示学习率（learning rate），它的值不能太大，否则步长过长会导致在接近极小值时直接越过极小值，无法收敛甚至发散。如下所示：
   
   此时的代价函数为：
   
   正常情况下代价函数随着迭代次数的增加曲线为：
   
2. 越接近导数值为零的极小值点时，导数值会越来越接近零，作用在
   
   的表现形式就是，参数更新的步长越来越小。(这里不详细解释，自行体会)

5. 逻辑回归中的梯度下降

假设样本只有两个特征x1ͳ和x2，为了计算 z，我们需要输入参数w1,w2,b除此之 外还有特征值x1ͳ和x2。因此z 的计算公式为：

z=w1x1+w2x2+b

假设现在只考虑单个样本的情况，单个样本的代价函数定义如下：

其中 ܽ a是逻辑回归的输出，y是样本的标签值。
w 和 b 的修正量可以表达如下：

为了使得逻辑回归中最小化代价函数L(a,y)，我们需要做的仅仅是修改参数 w和b的值，这需要进行一系列的求偏导数的运算，具体过程如下所示：
求出L对a的导数（代码中使用da表示）

求出L对z的导数：

现在进行最后一步反向推导，也就是计算 w和 b变化对代价函数 L的影响：

最后，更新参数w和b：


以上是实现针对单个训练样本的逻辑回归的梯度下降算 法。但是，训练逻辑回归模型不仅仅只有一个训练样本，而是有m个训练样本的整个训练 集。因此在下一节中，我们将这些思想应用到整个训练样本集中，而不仅仅只是单个样 本上。

6. m个样本的梯度下降

m个样本的损失函数的定义：


代码如下：

    m = X.shape[1]#样本个数
    #正向传播
    A = sigmoid(np.dot(w.T,X) + b) #计算激活值，请参考公式2。。A是（1，m）维度的
    cost = (- 1 / m) * np.sum(Y * np.log(A) + (1 - Y) * (np.log(1 - A))) #计算成本，，相当于J（a,y）即代价函数
    #反向传播，梯度下降算法，需要用到J对w和b的导数等。J对z的倒数结果是A-Y
    dw = (1 / m) * np.dot(X, (A - Y).T) #请参考视频中的偏导公式。（num_px * num_px * 3，1）
    db = (1 / m) * np.sum(A - Y) #请参考视频中的偏导公式。（1，1）

7. 区别于梯度下降算法的正规方程

吴恩达在机器学习中有相关介绍，具体可 点击链接 进行学习

到目前为止，我们都在使用梯度下降算法，但是对于某些线性回归问题，正规方程方法
是更好的解决方案。如：

正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的：

假设我们的训练集特征矩阵为 X（包含了x0=1 ）并且我们的训练集结果为向量 y，则利用正规方程解出向量：

例：


梯度下降与正规方程的比较：

梯度下降与正规方程的优劣势
梯度下降	正规方程
需要选择学习率 α	不需要
需要多次迭代	一次运算得出
当特征数量 n 大时也能较好适用	需要计算(XTX)-1。 如果特征数量 n 较大则运算代价大，因 为矩阵逆的计算时间复杂度为O(n3) ，通常 来说当 n 小于 10000 时还是可以接受的
适用于各种类型的模型	只适用于线性模型，不适合逻辑回归模 型等其他模型

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