数据降维：特征值分解和奇异值分解的实战分析
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回顾
这几天推送了关于机器学习数据预处理之降维算法，介绍了通过降维提取数据的主成分的背景，特征值分解法，奇异值分解法的相关原理。
现在我们再回顾下这些问题，首先，提取主成分的必要性，从数字信号的角度分析，主成分时方差较大，称为信号，而噪声是方差较小的；极限讲，如果100个样本点都汇集成一个点，也就是方差为0，那么不就相当于我们手上有1个点吗，因为其他99个对我们的最终的目标不会有任何作用了，相对的，我们更喜欢来一个与之散的比较开的点，这样会对我们的模型起到一个实质的作用。
不管是特征值分解法，还是奇异值分解法，需要理解以下基本知识点：
-
向量在某个正交基空间上的投影，等于点乘这个主轴；
-
通过一次正交变换，可以实现一次向量的旋转；
-
正交方阵能使一个正交基变换为另一个正交基
已经分析了如何利用特征值分解完成数据的降维和提取主成分（数据降维处理：PCA之特征值分解法例子解析），下面看下如何利用奇异值分解完成数据降维，要知道它可以实现两个方向的降维，而特征值分解是做不到的。然后总结下它们的实际应用。
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SVD分解过程
我们的原始数据样本：
A = np.array([[2, 4], [1, 3],[0,0]])
A
array([[2, 4],
[1, 3],
[0, 0]])
#转化为我们想要的A，将特征定为 axis=0
A = A.T
A
array([[2, 1, 0],
[4, 3, 0]])
调用 Numpy中的奇异值分解API：
#奇异值分解
np.linalg.svd(A)
得到的结果为三个数组 U*Sigma*V转置
(array([[-0.40455358, -0.9145143 ],
[-0.9145143 , 0.40455358]]),
array([ 5.4649857 , 0.36596619]) ,
array([[-0.81741556, -0.57604844, 0. ],
[-0.57604844, 0.81741556, 0. ],
[ 0. , 0. , 1. ]]))
现在看下数据A是如何奇异值分解的：
#U矩阵是通过A.dot(A.T)的特征值求得的（按照特征值由大到小排序）
np.linalg.eig( A.dot(A.T) )
(array([ 0.13393125, 29.86606875]), array([[-0.9145143 , -0.40455358],
[ 0.40455358, -0.9145143 ]]))
#奇异值（特征值的开根号）
np.sqrt(29.86606875),np.sqrt(0.13393125)
#V的转置是通过A.T.dot(A)的特征值求得的（按照特征值由大到小排序）
np.linalg.eig(A.T.dot(A))
(array([ 29.86606875, 0.13393125, 0. ]),
array([[ 0.81741556, -0.57604844, 0. ],
[ 0.57604844, 0.81741556, 0. ],
[ 0. , 0. , 1. ]]))
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SVD降维实例
对于SVD的奇异值也是按照从大到小排列，而且奇异值梯度很大。在昨天，我们介绍过：在很多情况下，前10%，甚至有的1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%，这是什么意思呢，这就表示原矩阵可以被压缩为一个很小的矩阵，并且还能保证其主要成分信息不会丢失。
也就是说，我们也可以用最大的 k 个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述原始矩阵数据，如下图表达的含义：
接下来，我们实际演练下这个过程，利用 numpy库随机生成一个5*9的二维数组（也可以称为矩阵吧）A：
array([[6, 4, 9, 4, 2, 7, 6, 2, 6],
[6, 3, 0, 5, 6, 2, 5, 4, 8],
[6, 0, 4, 2, 3, 5, 4, 9, 7],
[6, 1, 3, 6, 5, 1, 3, 7, 1],
[4, 1, 6, 4, 2, 4, 1, 3, 6]])
那么如何先进行特征降维呢？ 比如降维成 5* r 列，只要降维后的 r列能近似表达原矩阵就行吧，已知奇异值分解的公式：
因此如果想要把A降维成特征r个，那么只需要上个近似等式两边同乘以 Vr*n ，如下：
因为Vr*n是正交矩阵，所以V的转置等于V的逆，所以，上式进一步化简为：
这样，近似等号的右侧就是一个m*r的矩阵，它是将A矩阵压缩后的近似矩阵，V就是中间的变换矩阵。
借助numpy的API，我们发现取取3个奇异值，就已经表达了84%的奇异值的和，所以取前3个奇异值，因此，求出 U * Singular等于如下：（取小数点后1位显示）
array([[-15.3, 6.3, -0.8],
[-13.2, -3.9, -4.9],
[-14.5, -1.4, 2.9],
[-11.2, -4.6, 2.5],
[-10.9, 2.6, 0.6]])
这就完成了对特征的压缩，将含有9个特征的数据，最后压缩为3个特征。那么如何来按照行对数据压缩呢，和上面的原理差不多，在奇异值分解的等式两侧乘以 U的转置，就可以推导出下式，等号右边不就是 r*n的按行压缩后的矩阵吗！
至此，SVD按照特征压缩，和数据样本压缩，两个方向的压缩方法和例子就说完了，接下来看看它的实际应用吧。
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数据压缩的实际应用
例如sklearn的 iris 经典数据集中，iris的4个特征，被PCA后，只提取了其中2个特征，便表达了其中的主要方差，这是一个数据降维的典型demo 。
另外，PCA的特征值分解和奇异值分解在图像处理，压缩方面也有很广的应用，可以将图像的数据做奇异值分解，然后降维处理，例如下面的图片，经过奇异值分解法获得的主成分提取后压缩后的图像，可以看到基本保留了原来的图像主要信息。
简单总结下，重点介绍了奇异值分解法压缩矩阵的原理，和一个实际的例子，最后实战介绍了PCA的实际应用。前面介绍了决策树的原理和例子解析，明天，基于次，再介绍一种经典的机器学习集成算法，XGBoost，它可是中国的科学家发明的。
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