高等数学——常考公式（1）

0 补充公式

x>0时，有如下常用放缩式：

$$\begin{array}{rl}& x>\sin x\\ & x>\ln (1+x)>\frac{x}{1+x}\end{array}$$

常用不等式：

$$\begin{array}{rl}& a^2+b^2\ge 2ab,a+b\ge 2\sqrt{ab},1+x^2>2|x|\\ & \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\\ & |a|-|b|\le |a\pm b|\le |a|+|b|\\ & [x]\le x\le [x+1],[\cdot ]为取整函数\\ & a>0,b>0,有：\max \{a,b\}\ge \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\ge \min \{a,b\}\end{array}$$

常用“立方和”等式：

$$
\begin{aligned}
& a^n-bn=(a-b)(a^{n-1}b0+a^{n-3}b{1}+a^{n-3}b{2}+\cdots+a^{0}b{n-1}) \
&1-a^k=(1-a)(1+a1+a^2+\cdots a^k)\
&a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab +b^2)\
\

\end{aligned}
$$

常用“和的立方”等式，和与其相近的“积的高阶导数”等式：

$$\begin{array}{rl}& (a+b{)}^n={\text{C}}_n^0{a}^n{b}^0+{\text{C}}_n^1{a}^{n-1}{b}^1+\cdots +{\text{C}}_n^n{a}^0{b}^n\\ & (ab{)}^{(n)}={\text{C}}_n^0{a}^{(n)}{b}^{(0)}+{\text{C}}_n^1{a}^{(n-1)}{b}^{(1)}+\cdots +{\text{C}}_n^n{a}^{(0)}{b}^{(n)}\\ & {\text{C}}_n^m=\frac{m!}{n!(n-m)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{n!}\end{array}$$

常用和式：

$$\begin{array}{rl}& 1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ & 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=[\frac{1}{2}n(n+1){]}^2\\ & 1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +n(n+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ & 1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+\cdots +n(n+1)(n+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\end{array}$$

倍角公式：

$$\begin{array}{rl}& \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \\ & \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1\\ & \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha },\cot 2\alpha =\frac{1-{\cot }^2\alpha }{2\cot \alpha }\end{array}$$

降幂生角公式：

$$
\begin{aligned}
&\sin^2 \alpha = \frac{1- \cos 2 \alpha}{2}, \quad \cos^2 \alpha = \frac{1+ \cos 2 \alpha}{2}

\end{aligned}
$$

1的吸收：

$$1+\sin x=(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}{)}^2$$

这种可处理$\int \sqrt{1+\sin x}dx$的积分

切弦转换式：

$$\begin{array}{rl}& 1+{\tan }^2\alpha ={\sec }^2\alpha ,1+{\cot }^2\alpha ={\csc }^2\alpha \\ & \end{array}$$

反三角函数公式：

$$\begin{array}{rl}& \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2},\arctan x+\text{arccot }x=\frac{\pi }{2}\\ & \arcsin (-x)=-\arcsin x,\arccos (-x)=\pi -\arccos x\end{array}$$

奇变偶不变，符号看象限解释：

1. 该方法用于判断$\alpha \pm k\frac{\pi }{2}$的三角函数值
2. 奇变偶不变：若k为奇数，三角函数名改变(sin转cos，cos转sin)；若k为偶数，三角函数名不变
3. 符号看象限：设$\alpha$为第一象限，看$\alpha \pm k\frac{\pi }{2}$位于第几象限，以该项先的三角函数正负赋值

诱导公式：

$$\begin{array}{rl}& \sin (-\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (-\mathbf{\alpha })=\cos \mathbf{\alpha },\tan (-\alpha )=-\tan \alpha \\ & \sin (\mathbf{\pi }-\mathbf{\alpha })=\sin \mathbf{\alpha },\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha ,\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha \\ & \sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha ,\tan (\mathbf{\pi }-\mathbf{\alpha })=\tan \mathbf{\alpha }\\ & \sin (\alpha \pm \pi )=-\sin \alpha ,\cos (\alpha \pm \pi )=-\cos \alpha ,\tan (\mathbf{\alpha }\pm \mathbf{\pi })=\tan \mathbf{\alpha }\\ & \sin (\alpha \pm \frac{\pi }{2})=\pm \cos \alpha ,\cos (\alpha \pm \frac{\pi }{2})=\mp \sin \alpha ,\tan (\alpha \pm \frac{\pi }{2})=-\tan \alpha \end{array}$$

和差化积公式（帅：sinx；哥：cos）：

$$\begin{array}{rl}& 帅+帅=帅哥,\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ & 帅-帅=哥帅,\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\\ & 哥+哥=哥哥,\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ & 哥-哥=负嫂嫂,\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\end{array}$$

积化和差公式：

$$\begin{array}{rl}帅哥=帅+帅,& \sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]\\ 哥帅=帅-帅,& \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]\\ 哥哥=哥+哥,& \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]\\ 嫂嫂=负(哥-哥),& \sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]\end{array}$$

圆锥公式（$l$为母线，$R$为底面半径，$H$为底面高）：

$$\begin{array}{rl}{V}_{锥}=& \frac{1}{3}\pi R^{2}H\\ S_{锥侧面}=& \pi R(l+R)\\ 锥方程：& z^2=x^2+y^2\end{array}$$

三棱锥体积公式为1/3底面积高，这一点实际上和圆锥公式一样

特别地，若$a,b,c$为平面与坐标轴相交截距，则平面与坐标轴形成的三棱锥体积为：$V_{三棱锥}=\frac{1}{6}abc$

椭球体积公式：$V=\frac{4}{3}\pi abc$；

椭球表面积公式：$S=\frac{4}{3}\pi (ab+ac+bc)$

注意当$a=b=c$时，则退化为球的体积$\frac{4}{3}\pi r^3$与表面积公式$4\pi r^2$

万能公式：

令$u=\tan \frac{x}{2}$：

$$\sin x=\frac{2u}{1+u^2},\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},dx=\frac{2}{1+u^2}dx$$

1 函数极限与连续

常用级数展开：

$$\begin{array}{rl}& e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\\ & \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ & \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ & \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)!},x\in (-1,1]\\ & \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,|x|<1\\ & \frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-x{)}^n,|x|<1\end{array}$$

2 数列极限

3 一元函数微分学的概念

某一点的两种求导的定义式：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0)& =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{array}$$

任意点的求导式：

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

隐函数存在定理：

$$若F(x,y)满足\{\begin{array}{ll}& F在P_0邻域内连续\\ & F{|}_{P_0}=0\\ & F在D内存在偏导F_y^{\prime }连续\\ & F_y^{\prime }{|}_{P_0}\ne 0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{rl}& F在P_0邻域内有唯一隐函数y=y(x)\\ & (若F_x^{\prime }满足左边条件，有隐函x=x(y))\end{array}$$

反函数等价条件：

$$反函数存在\iff 定义域与值域一一映射$$

反函数性质：

$$F^{-1}(f(y))=y$$

4 一元微分学的计算

常用求导式：

$$\begin{array}{rl}& (\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x,(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x,(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x,(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x\\ & (\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2},(\text{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$

高维导数：

$$\begin{array}{rl}& (a^x{)}^{(n)}=a^x(\ln a{)}^n\\ & {\sin }^{(n)}kx=k^n\sin (kx+n\frac{\pi }{2})\\ & {\cos }^{(n)}kx=k^n\cos (kx+n\frac{\pi }{2})\\ & (x^m{)}^{(n)}=m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{m-n}\\ & (\ln x{)}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}\end{array}$$

特别的$(x^m{)}^{(m)}=m!$

两种形式的，展开到n项的拉格朗日余项的泰勒展开式：

$$\begin{array}{rl}f(x)=& f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n\\ & +\frac{f^{(n+1)}(\zeta )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1},\zeta 在x与x_0之间\\ f(x+h)=& f(x)+f^{\prime }(x)h+\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2!}{h}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x)}{n!}{h}^n\\ & +\frac{f^{(n+1)}(\zeta )}{(n+1)!}{h}^{n+1},\zeta \in (x,x+h)\end{array}$$

对于函数$y=f(x)$的反函数$x=\psi (x)$，有：

$$\begin{array}{rl}& x_y^{\prime }=\frac{1}{y_x^{\prime }}\\ & x_{yy}^{\prime \prime }=-\frac{y_{xx}^{\prime \prime }}{(y_x^{\prime }{)}^3}\end{array}$$

注意代入具体数值时，这里代的是$y$值而不是$x$值

参数方程$\{\begin{array}{ll}& x=x(t)\\ & y=y(t)\end{array}$的求导满足：

$$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}\\ & \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{y_{tt}^{\prime \prime }{x}_t^{\prime }-y_t^{\prime }{x}_{tt}^{\prime \prime }}{(x_t^{\prime }{)}^3}\end{array}$$

同时，如果是知道$x=x(t)$，要用$y_t^{\prime },y_{tt}^{\prime }$代替$y_x^{\prime },y_{xx}^{\prime }$构造微分方程，同样用上面的式子。

注意代入具体数值时，代入的是$t$值而不是$x$值

曲率：

$$k=\frac{|y_{xx}^{\prime \prime }|}{[1+(y_x^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$$

曲率半径为$R=\frac{1}{k}$

5 一元函数微分学的应用（一）——几何应用

6 一元函数微分学的应用（二）——中值定理、微分等式与微分不等式

7 一元函数微分学的应用（一）——物理应用与经济应用

物理微元：

$$\{\begin{array}{ll}& 抽水做功\to dW=\rho gxA(x)dx\\ & 静水压力\to dP=\rho ghds=\rho gx[f(x)-g(x)]dx\end{array}$$

8 一元函数积分学的概念与性质

常用反常积分尺度：

{ ∫ 0 1 1 x p d t { 0 < p < 1 , 收 P ≥ 1 , 发 ∫ 1 ∞ 1 x p d t { p > 1 , 收 0 < P ≤ 1 , 发 \begin{cases} &\int_0^1\frac{1}{x^p}dt \begin{cases} 01,\quad &收\\ 0

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​​∫01​xp1​dt{0<p<1,P≥1,​收发​∫1∞​xp1​dt{p>1,0<P≤1,​收发​​

9 一元函数积分学的计算

常用不定积分式：

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{1}{\sin x}dx=\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C\\ & \int \frac{1}{\cos x}dx=\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C\\ & \int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\int {\csc }^{2}x=-\cot x+C\\ & \int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\int {\sec }^{2}x=\tan x+C\\ & \\ & \int \frac{1}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan x+C\\ & \int \frac{1}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln |\frac{a+x}{a-x}|+C\\ & \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C\\ & \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C\end{array}$$

常用的定积分式子：

$$\begin{array}{rl}& \Gamma (n+1)={\int }_0^{+\infty }{x}^n{e}^{-x}dx=n!\\ & {\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\\ & {\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx\\ & ={\int }_0^{\frac{a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]dx\\ & 令x-\frac{a+b}{2}=\frac{b-a}{2}\sin t\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\sin t)\frac{b-a}{2}\cos tdt\\ & 令x-a=(b-t)\Rightarrow {\int }_0^1(b-a)f[a+(b-a)t]dt\\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}& \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}\cdot 1,n为大于1的奇数\\ & \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},n为正偶数\end{array}\\ & {\int }_0^{\pi }{\sin }^{n}xdx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx\\ & {\int }_0^{\pi }{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}& 0，n为正奇数\\ & 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx,n为正偶数\end{array}\\ & {\int }_0^{2\pi }{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{2\pi }{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}& 0，n为正奇数\\ & 4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx,n为正偶数\end{array}\end{array}$$

若$f(x)$以T为周期连续，有${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$

$$\begin{array}{rl}& f以T为周期\to \{\begin{array}{ll}& f^{\prime }以T为周期\\ & {\int }_0^{T}f(x)dx不一定是周期函数\end{array}\end{array}$$

祖孙三代的奇偶性齐次：

$$\begin{array}{rl}& f奇\to \{\begin{array}{ll}& f^{\prime }偶\\ & {\int }_a^{x}f(t)dt偶\end{array}\\ & f偶\to \{\begin{array}{ll}& f^{\prime }奇\\ & {\int }_0^{x}f(t)dt偶\\ & {\int }_a^{x}f(t)dt奇偶性不定,a\ne 0\end{array}\end{array}$$

祖孙三代的周期性：

$$
\begin{aligned}
&{\kern 12pt}f(x)=f(x+T) \Rightarrow f’(x)以T为周期\
&\left{\begin{aligned}
&f(x)=f(x+T)\
&\int_{0}^{T}f(x)dx=0\\end{aligned}\right.
\Rightarrow g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt以T为周期
\
\end{aligned}

$$

注意后面这个与被积函数在周期上的积分性质做区分，即：

若$f(x)$是以$T$周期的连续函数，$a$为任意常数，有：

$${\int }_0^{T}f(x)dx={\int }_a^{a+T}f(x)dx$$

这点性质有时可用于积分复现

两个常用式子：

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx=1\\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{4}\end{array}$$

其余区间的或者$\cos x$的值根据对称性计算即可