线性代数——常用结论

1 行列式

普通矩阵乘以对角阵：

$$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a{\lambda }_1& b{\lambda }_2& c{\lambda }_3\\ d{\lambda }_1& e{\lambda }_2& f{\lambda }_3\\ g{\lambda }_1& h{\lambda }_2& i{\lambda }_3\end{array}\right|$$

等式两端均是抽象矩阵相乘式，可考虑等式两端同时取绝对值

求行列式形式的多项式函数$f(x)=0$的$x^n$的系数，可以考虑逆序展开

特别地，如果是求常数项，那么可以直接求$f(0)$

$$\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 0& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0\end{array}\right|=(-1{)}^{r-1}(r-1)$$

注意$E=A{A}^{-1}$，有时可以用于求抽象行列式

如：已知$A=P^{-1}BP$，且知道$B$，但是不知道$E$，照样可以求出$|A-E|$

$$|A-E|=|P^{-1}BP-P^{-1}P|=|B-E|$$

注意伴随矩阵的式子是$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$，所以不可逆矩阵$A$也是存在伴随矩阵的，只不过不能通过$A^{\ast }=|A|A^{-1}$，而应该通过$A^{\ast }$的定义求解（$\{A_{ij}\}$的转置矩阵）

2 余子式和代数余子式的计算

计算代数余子式的连加式：

1. 计算某一行的代数余子式和

   如：计算3阶矩阵$A$的$A_{11}+A_{12}+A_{13}$，可以考虑将矩阵$A$的第一行全换为1，得到矩阵$A^{\prime }$。那么有行列式展开定理，即有$|A^{\prime }|=A_{11}+A_{12}+A_{13}$

2. 计算所有代数余子式的和

   一般是直接计算伴随矩阵，然后计算伴随矩阵各元素的和。硬要对每一行用方法1往往很麻烦

3. 计算$\sum _{i=1}^n{A}_{ii}$

   就是$A^{\ast }$的迹，也是$\sum {\lambda }_{A^{\ast }}$

3 矩阵运算

注意$E$的拼凑技巧：当式子中含有$A^{-1}$因子时，可考虑将$E$转换为$A{A}^{-1}$，方便提项

如：$(2A+E)(A+2E{)}^{-1}-2E=(2A+E)(A+2E{)}^{-1}-2(A+2E)(A+2E{)}^{-1}=(2A+E-2A-4E)(A+2E{)}^{-1}=-3(A+2E{)}^{-1}$

对抽象矩阵$A$进行行/列操作时，即使$A$的具体形式未知，为了操作方便，也可具象化地按行/列分块，这样可以更方便的求其与其它量的关系；如果是小题的话，抽像矩阵也可以考虑取特殊矩阵。

拼凑抽象矩阵式子时，注意以下拼凑技巧：

$$A=B\Rightarrow A=\frac{n}{n+1}A+\frac{1}{n+1}B$$

抽象式子要证明某抽象矩阵可逆，如果直接凑出$A\cdot B=C,且|C|\ne 0$，那么$A,B$都可逆

特别地，抽象式子要证明某抽象矩阵可逆，如果直接凑出$A\cdot B=E$的形式，那么就可以直接得到逆矩阵，自然可逆

拼凑的要求为“恒可逆”，则可考虑将拼凑的一端凑成仅有$E$，或者已知的可逆矩阵$C$

当多含抽象向量的矩阵求逆时（如$A=E+\alpha {\alpha }^T$），可以考虑自乘建立新式子

注意$A\cdot A^{-1}=E$，而不是1，尤其是填空题（$2A\cdot A^{-1}=2E\ne 2$）

注意正交阵有$A^T=A^{-1}$，这种特殊的性质为求逆矩阵提供的了极大的便利：

比如解方程$Ax=b$时，满足条件时有$x=A^{-1}b$，这种为解方程提供了很大的方便性。

PS：当$A$的各列/行向量未单位向量，且均彼此正交时，$A$即为正交阵

注意增广矩运算：

若$A为m\times n矩阵，b为m\times 1向量，有$：

$$\begin{array}{rl}& [A|b{]}^T=\left[\begin{array}{c}{A}^T\\ b^T\end{array}\right]\\ & \left[\begin{array}{c}{A}^T\\ b^T\end{array}\right]x=0的解必定满足A^{T}x=0\end{array}$$

注意若矩阵可逆有$AB=E\Rightarrow AB=BA=E$，这有时可以帮助构造新式子，

如：$A(A-2B)=E\Rightarrow A(A-2B)=(A-2B)A\Rightarrow AB=BA$

有结论：

$$A实对称\iff A^{-1}实对称\iff A^T实对称$$

4 矩阵的秩

对于向量相乘的矩阵$A=\alpha {\beta }^T$，若$A$不是0矩阵，则$r(A)=1$

注意秩的子式判别法

关于$A-\lambda E$的秩的问题：

1. $A_{n\times n}\sim \Lambda$时（比如$A$是实对称矩阵，那么$A$一定相似于对角阵）：

   $$r(A-\lambda E)=k\iff \lambda 为k重特征根$$

2. 不确定$A$是否一定相似于对角阵

   设$(A-\lambda E)x=0$的基础解系为$s$，则有：

   $$特征值\lambda 的重数\ge n-r(A-\lambda E)=s$$

   当且仅当$A$相似于对角阵时取等

若$r(A)=r$，则其非0特征值个数为$r$，0的重根数为$n-r$，即此时如果$A$不满秩，则0必是$A$特征值。

类似的，若对于n维矩阵$A$，若$r(A-\lambda E)=k$，那么$\lambda$至少为k重特征值

$r(A)=0$有且仅有一种可能，那就是$A$为0矩阵，这个结论可用作反证

对于矩阵$A=AB$，要求$A$的秩，那么可以考虑移项化为$A(E-B)=0$，这样可以方便地用$r[A(E-B)]=r(0)$的秩的放缩

两个同型矩阵等价的条件是二者秩相同

5 线性方程组

注意对于非齐次方程组$Ax=\alpha$，一旦矩阵$A$满秩，那么由克莱姆法则，方程组只有唯一解，此时不需要在判断$r([A,\alpha ])$的秩

仅有齐次方程有基础解系这一说法

所以$S=n-r(A)$公式也只适用于齐方，如果是非齐方，则适用于其对应的非齐方

对于方程组$A\cdot x=0$ ：

1. 若$A$为$n\times n$阶矩阵，$S=n-r(A)$

2. 若$A$为$m\times n$阶矩阵，且$m\ne n$，有：

   $$\begin{array}{rl}& S=变量个数-无关方程个数=n-r(m)=n-行秩\end{array}$$

解方程组时，不管是抽象还是具体，齐方还是非齐方，首先要判断对应齐方的基础解析个数$S$

对于含参数系数的矩阵，如果不满秩，求参数时，除了令行列式为0，也可以根据系数矩阵存在成比例的列来求参（这种一般还比较简单）

若$|A|=0$，则$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=0$，二者的列向量互为对方的齐方解，注意是列向量，不要看为行向量

有些题目的说法是“${\zeta }_1,{\zeta }_2为Ax=0的解$”，这个不一定是$S=2$，应该是$S\ge 2$

注意“同解”的前提是“有解”，这个有时可用于排除含参方程组的可能参数

虽说本章讨论的大多数为方程组的无穷解情况（不满秩），但面对唯一解情况时（满秩），勿忘克莱姆法则

线性方程组的几何意义：

假设有列向量${\alpha }_1=[a_1,a_2,a_3{]}^T,{\alpha }_2=[b_1,b_2,b_3{]}^T,{\alpha }_3=[c_1,c_2,c_3{]}^T,{\alpha }_4=[d_1,d_2,d_3{]}^T$，并且有以下方程组：

$$\begin{array}{rl}& a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ & a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ & a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}$$

注意若让${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$为三个平面法向量，则显然有$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=r({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$。

同时可以令平面法向量的增广向量${\gamma }_1=[{\beta }_1,|d_1]=[a_1,b_1,c_1,d_1]$，同样可得${\gamma }_2,{\gamma }_3$。且显然有$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=r({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)$

方程组的每个方程代表一个平面，三平面之间的位置关系可按以下情况分类：

$$
\begin{cases}
&r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=3,{\kern 5pt}三平面交于一点\
&r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2 {\kern 5pt}
\begin{cases}
&r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=2,{\kern 5pt} 三平面交于1直线
\begin{cases}
&存在两平面重合，另一平面与其相交\
&不存在两平面重合,另一平面与二者相交\
\end{cases}
\
&r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=3,{\kern 5pt} 三平面无公共解
\begin{cases}
&两平面平行，令一平面与其相交（2交线）\
&三平面两两相交（3交线）\
\end{cases}

\
\end{cases}

\
&r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=1,{\kern 5pt}3平面平行
\begin{cases}
&r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=1,{\kern 5pt}三平面重合\
&r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=2
\begin{cases}
&两平面重合，第三个平面与之平行\
&三平面相互平行不重合\
\end{cases}

\
\end{cases}

\
\end{cases}
$$

这里，平面重合问题：

$$\begin{array}{rl}& r({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)=2\{\begin{array}{ll}& {\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3中存在两个向量成倍数\Rightarrow 存在两平面重合\\ & {\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3中任意两个向量线性无关\Rightarrow 不存在平面重合\end{array}\\ & r({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)=1\Rightarrow 三平面重合\end{array}$$

平面平行问题：

$$\begin{array}{rl}& {\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3存在两个向量成倍数\Rightarrow 存在两平面平行\\ & {\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3任意两个向量线性无关\Rightarrow 不存在两平面平行\end{array}$$

注意若题干描述“方程组$Ax=0$有解$x_1,x_2$”，也能够用$s=n-r$，只不过这里应该对应不等式$s=n-r\ge 2$

注意方程组$Ax=b$的解说法：如果$A$的维度为4，且$r(A)=r([A,b])$，那么通解为$k\eta +\zeta$，那么其解有两个线性无关的解向量，而不是$4-3=1$个

6 向量组

注意两种新旧矩阵的变换顺序：

1. 过渡矩阵：

   $$新=旧\cdot C$$

   $C$即为过渡矩阵

2. 配方法换坐标+坐标转换：

   $$老=C\cdot 新$$

   向量$\zeta$在${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$下的表示坐标为$[x_1,x_2,x_3]$，就是说：

   $$
   \zeta=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]\left[
   \begin{aligned}
   &x_1\
   &x_2\
   &x_3\

   \end{aligned}
   \right]
   $$

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$为$n$阶列向量，则$A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]$为n阶方阵，且：

$$A^T=\left[\begin{array}{rl}& {\alpha }_1^T\\ & {\alpha }_2^T\\ & ⋮\\ & {\alpha }_n^T\end{array}\right]$$

注意方程的解与方程组列向量线表之间的关系：

$$方程[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]x=0有非0解\iff 向量组[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]线关$$

若非0解为$\beta$，则$\beta$可由$[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]$线表

证明向量组线关最常用的办法还是定义法建立式子，或者反证法建立式子，并且可以对式子两端同时乘以某个矩阵，来构造新式子，有时需要构造多个新式子进行糅合求解

线性无关组组成的方阵可逆

几个充要：

$$向量组(I),(II)等价\iff r(I)=r(II)=r(I,II)\iff (I),(II)可相互线表$$

所以对于含参同型等价矩阵矩阵$A,B$，可以联立$[A,B]$然后初等变换求参数

向量组$(I)$的等秩向量组与等价向量组的向量个数与$(I)$向量组内的向量个数不一定相等（可以判断向量组是否为基础解系，那里有向量组个数的要求）

正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵

7 特征值与特征向量

特征向量不可为0向量（常用于排除参数）

注意与方程组的联系：

1. 若$|A|=0,A\cdot B=0$，则$B$各维列向量均为$\lambda =0$的特征向量
2. 已知含参矩阵$A$的一个特征值为${\lambda }_0$，那么$|A-{\lambda }_{0}E|=0$
3. 注意凑定义$Ax=\lambda x$来确定特征值，特征向量

对于一些由向量表示的矩阵，常可以考虑它们的一些可能的特殊性质：

1. 对称性，如：$A=E+\alpha {\alpha }^T\Rightarrow A^T=A$

2. 凑特征值特征向量，如：$\{\begin{array}{ll}& A=E+\alpha {\alpha }^T\\ & \alpha {\alpha }^T=1\end{array}\Rightarrow A\alpha =(n+1)\alpha$

3. 因式分解，求特征值，如：

   $$\{\begin{array}{ll}& A^2=4E+7\alpha {\alpha }^T\\ & r(\alpha {\alpha }^T)=1\\ & A正定\end{array}\Rightarrow (A+2E)(A-2E)=7\alpha {\alpha }^T\Rightarrow \lambda =2(r(\alpha {\alpha }^T)=0)$$

对于多个$A\alpha =k\alpha$的值，常考虑联立拼凑成$A\cdot P=P\cdot B$，便于后续求解，特别地，若$|P|\ne 0$，则有$A\sim B$，进一步地，即使$B$非对角阵，若是有$B$相似于对角阵，那么也有$A$相似于对角阵

对于非0向量$\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^n$，对于矩阵$A=\alpha {\alpha }^T$，有结论

1. $r(A)=1$

2. $A$相似于对角阵，即存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\lambda$，假设$a_1\ne 0$，有：

   $$
   \begin{aligned}

   &P=\left|\begin{array}{ccccc}
   &a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n \
   &a_2&-a_1&0&\cdots&0 \
   &a_3&0&-a_1&\cdots&0 \
   &\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots \
   &a_n&0&0&\cdots&-a_1 \
   \end{array}\right |\

   &\Lambda=\text{diag}(\sum\limits_{1}^{n}a_i2,0,0,\cdots,0) \

   \end{aligned}
   $$

由特征多项式$f(\lambda )=|{\lambda }_{i}E-A|=a,i=1,2,\cdots ,n$求得$A$特征值：

1. $a=0$：

   显然有有特征值${\lambda }_i,i=1,2,\dots n$

2. $a\ne 0$：

   则存在矩阵$B$的特征多项式满足$g(\lambda )=|{\lambda }_{i}E-A|-a=0$，可先根据题设条件求出$B$的特征值，再求$A$的特征值

特征多项式$|\lambda A-E|=0$求出的特征值仅是可能值，往往根据题设条件排除一些不可取的值（如矩阵正定排除负特征值），且如果是特征值，则其必然满足特征多项式（不满足特征多项式，就不是特征值），所以特征值是特征多项式的解的一个子集。

特征值的重数有时可以从特征多项式看出（如：${\lambda }^{n-1}(\lambda -1)=0$），有时看不出来（如：$\lambda (\lambda -1)=0$），看不出来时就需要判断$r(A-\lambda E)$，则$重数=n-r(A-\lambda E)$

组成相似对角阵$P$的${\zeta }_i$，不用再单位化

注意增广拼凑法：

给了$A{\alpha }_i=k{\alpha }_i,i=1,2,\cdots ,n$，考虑拼凑$A[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]B$，若向量$P=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]$可逆，则$A\sim B$，不过需要注意的是$B$不一定是对角阵，此时如果要求$A$的特征值的话，可以考虑矩阵相似的传递性

注意特征值的拆项解法，即给定$A$，求${\lambda }_A$，可考虑求$A=a\cdot E+B$，则${\lambda }_A=a+{\lambda }_B$

但是注意若$A=B+C$，则${\lambda }_A$与${\lambda }_B+{\lambda }_C$之间不一定相等

互逆矩阵的特征值互为倒数

对于离散分布律$P(X=a_i)=p_i$，其数学期望存在的条件是$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{p}_n$绝对收敛。

注意若对于任意实数$k$与固定矩阵$A$，若矩阵$A-kE$均可逆，即说明此时矩阵$A$仅有虚数根。此时若有恒等式式$f(A)=0$，那么即有$f(\lambda )=0$的解仅有虚数根

对于n维矩阵$A$，若矩阵矩阵$A$的特征值${\lambda }_0$ 为n重根，并不代表着$A$一定是对角阵

注意知道一个矩阵的迹（常见于具体矩阵），或者行列式的值，若此时只有一个特征值不知道，那么可以利用这个条件，求出这个未知的特征值

例：已知矩阵A为：

$$A=\left|\begin{array}{cccc}2& a_{12}& 2& -2\\ a_{21}& 0& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& 0& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& 0\end{array}\right|$$

又知道方程$(A-2E)x=0$的基础解系为3，求$A$的特征值：

解：易有特征值2至少为3重根，$迹=2=2+2+2+{\lambda }_4$，易有${\lambda }_4=-4$，即特征值为2,2,2，-4

注意矩阵$A$的特征值，与其转置$A^T$的特征值没有固定关系

8 相似理论

对于含未知参数的两非对角阵矩阵$A\ne \text{diag}(a_1,a_2,\cdots ,c_n),B\ne \text{diag}(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$去求参数，一般运用相似矩阵的四条性质计算，如果有还是无法完全确定其中参数，则考虑下面这种特殊情况，即：

$A\sim \text{diag}({\lambda }_1，{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$，由相似的传递性，$B$也相似于对角阵，那么可以多一个条件，即:

$${\lambda }_{B_i}特征向量个数={\lambda }_{B_i}重数=n-r(B-{\lambda }_{B_i}\cdot E)$$

一个矩阵能否相似对角化（无论是否有重根），本质上都是看其是否有$n$个线性无关的特征向量，进一步地，不同特征值的特征向量必然线无，而同一特征值的特征向量则不一定，特征值若有重根，当且仅当同一特征值的特征向量也线无时，才可相似于对角阵。

证明抽象矩阵相似于对角阵，可以考虑拼凑法或者考虑证明抽象矩阵为实对称矩阵

若$A,B$为n阶矩阵，$A$可逆，且$A\sim B$，有：

$$AB\sim BA,A^2\sim B^2,A^T\sim B^T,A^{-1}\sim B^{-1}$$

若$A,B$是n阶实对称可逆矩阵，有$A^2$合同于$B^2$

对于已知具体形式的3阶非对角阵$A,B$，要求求一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$：

1. 若$A,B$相似于对角阵，且相似于同一对角阵，则可以考虑可以分别相似于这个对角阵，然后再计算转换矩阵

2. 若$A,B$不相似于对角阵，可以考虑设出$P$的9个未知数，列方程求解；

   或者特殊可以考虑设出$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，然后求解方程$AP=BP$，这种情况可能会出现形如$BP=(0,{\alpha }_3,{\alpha }_2)$的情况，那么显然${\alpha }_1$就是$AP=0$的解，${\alpha }_2$就是$AP={\alpha }_3$的解，

9 二次型

注意让求的是标准型还是规范型

标准型：对系数未要求

规范型：系数仅可为$\pm 1$或$0$

配方法求标准型和规范型的注意事项：

1. 考试要手算，一般最高也是三个未知数，即根据公式$(a\pm b{)}^2=a^2+b^2\pm 2ab$，或者根据公式$(a\pm b\pm c{)}^2=a^2+b^2+c^2\pm 2ab\pm 2ac\pm 2bc$。且对于三维手算配方，一般而言，非平方项不要两两组合比较好计算（即不要同时出现$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3$）
2. 先将一个元配好（包括平方项和非平方项），如果需要补项，则根据非平方项补项，旨在将非平方项都吸收，配至最后、直至式中仅含有平方项
3. 最后化为标准型是要反解方程之后的$x=C_{1}y$，如果要再化为规范性，补上$y=C_{2}z$即可

正交变换法求标准形和规范形：

1. 求得正交矩阵$P$后，所作变换$x=Py$仅可将原二次型化为标准形，要想化为规范型，进一步变换做$y=P_{2}z$
2. 实对称矩阵必可用正交矩阵相似对角化，所以二次型也一定可以化为标准型
3. 注意正交阵性质，即各列向量为单位向量，且彼此正交，因此：

   1. 当$A$特征值无重根时，那正交阵不同特征值的特征向量本身正交，不用管

      当$A$特征值有重根时，应特殊化选取重根所对应的特征向量，以使得它们彼此正交

   2. 注意将求得的特征向量单位化

本章对于合同的讨论仅限于对称阵，对于非对称矩阵，还要将其转化为对称阵。当选择题要判断两个矩阵是否合同时，如果不是对称阵，那就直接否定了。

例：设二次型$f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x^{T}Ax$，其中

$$A=\left|\begin{array}{cccc}2& 2& 2& -2\\ 0& 0& -2& 2\\ 0& -2& 0& 2\\ 0& 2& 2& 0\end{array}\right|$$

求其正交变换下的标准型

解：注意提法，本题一是没有要求求变换矩阵，二是求“二次型”变换的标准型，所以可以找对称矩阵$B$，满足$f=x^{T}Ax=x^{T}Bx$，再求$B$的特征值即可，且注意最后结果虽然没有让写出变换矩阵，但是最后仍然要用新的变量来表示这个二次型。

令：

$$B=\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 1& -1\\ 1& 0& -2& 2\\ 1& -2& 0& 2\\ -1& 2& 2& 0\end{array}\right|$$

显然有$f=x^{T}Ax=x^{T}Bx$，易求出$B$的特征值为$2,2,-1\pm 2\sqrt{3}$

即二次型$f$的标准型为：

$$f=2y_1^2+2y_2^2+(-1-2\sqrt{3})y_3^2+(-1+2\sqrt{3})y_4^2$$

抽象二次型正定性的判断，往往要考虑定义法

若出现描述：二次型$f=x^{T}Ax$经过正交变换$x=Qy$化为二次型$g=y^{T}Bx$。则有隐藏条件：$A$与$B$相似

若有二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x^{T}Ax$，且$Q^{T}AQ=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)=\Lambda ,Q^T=Q^{-1}$，那么令$x=Qy$即有标准型${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+{\lambda }_3{y}_3^2$。

不妨假设${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$均大于0，进一步地${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+{\lambda }_3{y}_3^2=(\sqrt{{\lambda }_1}{y}_1{)}^2+(\sqrt{{\lambda }_2}{y}_2{)}^2+(\sqrt{{\lambda }_3}{y}_3{)}^2$，那么可以令：

$$\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{{\lambda }_1}& 0& 0\\ 0& \sqrt{{\lambda }_2}& 0\\ 0& 0& \sqrt{{\lambda }_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\right]$$

即令$y=Pz$即可转换为规范型$z_1^2+z_2^2+z_3^2$。此时有$x=QPz$

即有$x^{T}Ax\stackrel{x=Qy}{=}{y}^T\Lambda y\stackrel{y=Pz}{=}{z}^{T}Ez$

将非对角阵转化为对角阵考虑用相似，将一个对角阵转化为另一个惯性指数相同的对角阵，考虑合同

对于二次型$f(x_1,x_2,x_3)$，有一类题目是让求非0解$\zeta$，使得$f(\zeta )=0$，在这种情况下，原二次型一般是含有交叉项的非标准型，可以首先考虑通过正交变换$x=Qy$，将其化为标准型（此时一般存在特征值为0的情况），求到解之后，再代入$x=Qy$，求对应x

如：$f(x_1,x_2,x_3)$经过正交变换$x=Qy$后变为$f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2$，那么$f(y_1,y_2,y_3)=0$当且仅当有$\zeta =[0,0,1{]}^T$，那么对应$x$的解即为$x=Q\zeta$

如果要用配方法求不含有二次项的二次型的标准型，那么第一步就是还原，但是如果用正交变换法求，那第一步就不用换元

注意对于$A\alpha =0$的题目，除了与考虑秩相关，当$A$的次数有限，勿忘最基本的可以将$A$的各项设出来，求出具体值1，尤其是当给出$A$对称阵之类的条件时

注意求$B^2$类的题目，多采用拼凑法项数对照法，特别的要注意两类变换$A{A}^{-1}=E,对角阵{\Lambda }^2=\Lambda \Lambda$：

例：给定$Q^{T}AQ=\Lambda ,试根据B^2=A+3E求B$：

解：

$$B^2=A+3E=Q(\Lambda +3E)Q^T=Q{\Lambda }_2{Q}^T=(Q\sqrt{{\Lambda }_2}{Q}^T)(Q^T\sqrt{{\Lambda }_2}Q)$$

项数对照即有$B=Q^T\sqrt{{\Lambda }_2}Q$

假设$A$的特征矩阵为$\Lambda$，且存在正交阵$Q$使得$Q^{T}AQ=\Lambda$，那么有$Q^T{A}^{\ast }Q={\Lambda }^{\ast }$，这样就不用先求$A^{\ast }$，再计算矩阵乘法了，直接求对角阵$\Lambda$的伴随矩阵是十分好求的

注意若求得对称阵$A$的特征矩阵$\Lambda =diag(2,1,2)$，那么应该让$y_1=\sqrt{2}{x}_1,y_2=x_2,y_3=\sqrt{2}{x}_3$，而不是$y_1=\sqrt{2}{x}_1,y_2=x_2,y_3=\sqrt{2}{x}_3$