Bilateral Filters（双边滤波算法）的超简单原理，学不会你打我。

摘要：
双边滤波(Bilateral Filters)是非常常用的一种滤波，它可以达到保持边缘、降噪平滑的效果。和其他滤波原理一样，双边滤波也是采用加权平均的方法，用周边像素亮度值的加权平均代表某个像素的强度，所用的加权平均基于高斯分布。最重要的是，双边滤波的权重不仅考虑了像素的欧氏距离（如普通的高斯低通滤波，只考虑了位置对中心像素的影响），还考虑了像素范围域中的辐射差异（例如卷积核中像素与中心像素之间相似程度、颜色强度，深度距离等）。

一：如何判断边缘？
在开始之前，我们先讨论一下如何判断边缘。一般而言，区分图像是否为边缘部分的方法如下：
1：在图像的边缘部分，像素值的变化较为剧烈。
2：在图像的非边缘区域，像素值的变换较为平坦。
通过以上两点，我们可以总结出，想要保留图像边缘，必须引入一个能够衡量图像像素变换剧烈程度的变量。

二：双边滤波算法原理
霍金曾经说过，如果一本书里面有一个公式，那么这本书的销量将会失去上万个读者。本文将出现好几个公式，按这样会有失去许多个读者，但是不出现公式是不可能的，作者将尽力解释公式的含义，希望看官看过后觉得有用就点一个订阅。话不多说，咱们开门见山。
首先看双边滤波的公式：

其中：
先看到这两个公式不要慌，慢慢听我说公式中的符号是什么意思。我们先做一些准备。
我们选择一个的框，随便放在一张图中。像我这样选择一个5×5的框放在10像素×10像素的图上面。分别沿水平方向和竖直向下方向建立坐标轴，水平的叫X轴，竖直向下的叫Y轴。图中一个一个小方框代表一个像素值，这些像素值都有了一个坐标。咱们举一个例子：在这个5×5的框中，像素为165的这个点坐标为（0，0），像素为156的这个点的坐标为（1，0），像素为56的这个点坐标为(0,1),像素为0的这个点的坐标为（1，1），诸如此类。
好了，现在我们做了一些准备工作，接下来解释符号含义就方便了许多。q是输入的像素点，它代表上图中5×5的方框中其中的一个像素点。我们先不管累加符号∑和q∈S这个符号，接下来需要一点数学基础，$G{\sigma }_s$是为空间域核，$G{\sigma }_r$是图像像素域核。
这是两个二维高斯函数，二维高斯函数的公式为（我在网上找的一张图，带了水印，不过无关紧要）：
不过这里我们对二维高斯函数进行了一些小的改动，让他们更加符合我们的要求，这里给出$G{\sigma }_s$和$G{\sigma }_r$的公式，：
其中：


q代表输入像素点，m与n是输入像素的横坐标与纵坐标，p是方框中心像素点，i与j是方框中心像素的坐标，I(m,n)代表输入像素的值，I(i,j)代表方框中心像素的值，${\sigma }_s$与${\sigma }_r$是我们自己设定的值。比如：q代表输入像素，在我们的方框中，我们选择像素值为156的点为输入像素，那么它的坐标为（1，0），m=1,n=0，I(1,0)=156。方框中心的点的坐标为（2，2），那么i=2,j=2，I(2,2)=146。
（ps:这个图片太大了，等我学会插入公式后再来修改一下) 代表输出的像素值，也就是我们在方框中心点要更新的像素值。我们现在举一个例子来说明。
①首先遍历整个5×5的小框，第一个遍历到的点是165，它的坐标是(0,0),像素值是165，
那么中心点与该点的空间域计算结果为：

②再计算中心点与该点的像素域结果：

当 ${\sigma }_s$与 ${\sigma }_r$ 分别为5和20时，Gσs = 0.8521，Gσr = 0.6368。
③我们将${\sigma }_s$与 ${\sigma }_r$ 和第一个像素值（ps:第一个像素值是165）相乘，这三个数相乘得到第一个结果。还记得累加符号∑和q∈S符号吗？其中S指的就是5×5的这个框，它的意思就是从第一个像素开始遍历，按照①②的步骤，求得每一个在5×5方框中的像素的空间域和像素域的结果，并且将像素值和空间域计算结果和像素域结果相乘，最后将这些结果相加起来，得到滤波算法公式的分子。

好了，我们解释完双边滤波算法的分子，接着解释分母。
当我们遍历整个5x5的方框，将方框内每个像素点都与中心点建立联系，求出它们的 Gσs 与 Gσr 的值，将 Gσs 与 Gσr 相乘即得到每个点对应的Wp，即Wp = Gσs × Gσr，将方框中25个像素点对应Wp进行累加，得到一个总的Wp，便是分母，我们在计算分子的时候可以顺便算出分母。我们再来捋一遍，在遍历结束后，用每个点的Wp乘上该点的像素值I(m, n)，并求和，作为分子。将每个点的Wp相加，作为分母，两者相除，即得到需要的新输出图像的中心点（i，j）的像素值。也就是我们的滤波输出，我们将小框从左往右，从上往下不断移动，按照我们的算法不断更新方框中心的像素值，就得到了双边算法的输出。
好了，我讲完了，你听懂了吗？有问题可以留言，我会积极回答的。