【衬套】橡胶元件的动态性能
编辑：CrazyRabbit
日期：2022年6月30日
一、前言
底盘上大量应用了橡胶类元件，如：衬套、轮胎、隔振块等。
橡胶衬套是由分子之间物理键或化学键构成的高分子聚合物，受到外部载荷时，橡胶材料分子之间易于产生相对运动，分子链产生拉伸和扭转变形，当载荷消失后，材料分子即恢复到原来的位置，对外做功，称之为橡胶的弹性(Elastic)特性；部分材料分子并未回到原位，而是产生了永久变形，称这种特性为橡胶的黏性(Viscous)特性，这种特性对NVH起着关键性作用。
由黏性特性带来的橡胶元件的动态性能有：动刚度、滞后角等。
二、K-V模型
为了更好的理解橡胶元件的动态特性，建立最简单的橡胶模型如下图：
即用一个弹簧Spring和一个阻尼器Damper的并联来模拟橡胶元件的力学特性，该模型称为K-V模型。
2.1 弹性刚度（Elastic Stiffness）
对于弹簧而言，对弹簧Spring施加一个正弦波的力F，根据胡克定律，得到的位移与力F同相位，如下图所示：
而力F与位移x的比值就是所谓的弹性刚度（Elastic Stiffness）。
2.2 黏性刚度（Viscous Stiffness）
而黏性效应有很大不同：对阻尼器Damper施加一个正弦波的力，会发现位移波形滞后力的波形，且滞后角为90°，如下图所示：
即力与速度成正比。
而对于橡胶元件，即存在弹簧Spring效应，又存在阻尼器Damper效应，得到的最终效果是位移滞后力的相位，且滞后角小于90°，如下图：
当黏性效应较弱，弹性效应呈主导时，位移存在较小的相位滞后；反之则相位滞后较大。
对于上述的描述，总结如下：
- Elastic Stiffness：弹性刚度，类似于静刚度
- Viscous Stiffness：黏性刚度，又称为损失刚度（Loss Stiffness），表征阻尼特性
2.3 动刚度和滞后角
上述引入的Elastic Stiffness和Viscous Stiffness只是为了方便理解橡胶的力学机理，实际工程中常用的工程参数是动刚度（Dynamic Stiffness）和滞后角（Phase Angle）。
上述四种参数之间的关系如由上面的矢量图表达，动刚度、弹性刚度、黏性刚度满足矢量关系，其实动刚度更科学的定义应该为“复刚度（Complex Stiffness）”，取得是复数的模。
滞后角（又称为阻尼角，损失角） δ \delta δ的正切值为VS/ES，可通过反正切函数求得。
以下术语为相同含义：
动刚度(Dynamic Stiffness)=复刚度(Complex Stiffness)=黏弹性刚度(Viscoelastic Stiffness)
黏性刚度(Viscous Stiffness)=损失刚度(Loss Stiffness)=阻尼刚度(Damping Stiffness)
弹性刚度(Elastic Stiffness)=弹簧刚度(Spring Stiffness)=储能刚度(Storage Stiffness)=静刚度(Static Stiffness)
滞后角(Phase Angle)=阻尼角(Damping Angle)=损失角(Loss Angle)
2.4 测试
对于动刚度和滞后角的测试，可以参考下图：
在力-位移的滞回曲线中，截取位移的峰峰值 Δ x \Delta x Δx和力的峰峰值 Δ F \Delta F ΔF，那么动刚度 D S = Δ F / Δ x DS=\Delta F/ \Delta x DS=ΔF/Δx；滞后角可根据滞后时间 Δ t \Delta t Δt获得： δ = Δ t / T × 360 \delta = \Delta t/T \times 360 δ=Δt/T×360
2.5 能量耗散
根据力-位移的滞回曲线，可以计算出每个周期损失的能量值：
E = π 4 ⋅ Δ F ⋅ Δ x ⋅ sin δ E=\frac{\pi}{4} \cdot \Delta F \cdot \Delta x \cdot \sin \delta E=4π⋅ΔF⋅Δx⋅sinδ
有时也可用积分的办法，计算出损失的能量值，反推出滞后角（阻尼角） δ \delta δ。
三、模型的数学解析
从能量的角度看，动刚度是橡胶弹性体在外界激励作用下吸收的总能量，在橡胶变形过程中存储的能量体现为储能刚度，并且在移除外力后可使橡胶恢复；在橡胶变形过程中因内部摩擦所消散掉的能量体现为损失刚度。
对上述模型及过程做数学推导。设外界激励为 F ( t ) = f sin ( ω 0 t + ϕ ) F(t)=f \sin(\omega_0 t+\phi) F(t)=fsin(ω0t+ϕ)，悬置的位移响应为 x ( t ) x(t) x(t)，那么单自由度强迫振动的微分方程为：
C x ˙ ( t ) + K x ( t ) = F ( t ) C\dot{x}(t)+Kx(t)=F(t) Cx˙(t)+Kx(t)=F(t)
对上式做拉普拉斯变换，得：
C s X ( s ) + K X ( s ) = F ( s ) CsX(s)+KX(s)=F(s) CsX(s)+KX(s)=F(s)
即：
C s + K = F ( s ) X ( s ) Cs+K=\frac{F(s)}{X(s)} Cs+K=X(s)F(s)
令 s = j ω s=j\omega s=jω，假设橡胶弹性体的动刚度为 K ∗ ( ω 0 ) K^*(\omega_0) K∗(ω0)，则：
K ∗ ( ω 0 ) = F ( j ω 0 ) X ( j ω 0 ) = K + C j ω 0 = K 1 + j K 2 K^*(\omega_0)=\frac{F(j\omega_0)}{X(j\omega_0)}=K+Cj\omega_0=K_1+jK_2 K∗(ω0)=X(jω0)F(jω0)=K+Cjω0=K1+jK2
那么，上式的K1是储能刚度，是动刚度的实部；jK2是损失刚度，是动刚度的虚部。
动刚度的幅值为： K ∗ = K 1 2 + K 2 2 K^*=\sqrt{K^2_1+K^2_2} K∗=K12+K22，滞后角为 Φ = arctan K 1 K 2 \Phi=\arctan\frac{K_1}{K_2} Φ=arctanK2K1。
以上的推导和第二节中的测试方法是基于K-V模型的，只是为了方便大家理解橡胶的特性。
实际橡胶件远比K-V模型要复杂。所以，更科学的测试方法是分别测量力和振动位移的波形，并做傅里叶变换求得传递函数，再求出相位滞后角。
四、底盘橡胶元件
从橡胶的动态性能和底盘NVH的角度，底盘橡胶元件主要有两大类：纯橡胶衬套（悬置）和液压衬套（悬置）。需要了解的知识点有：
- 对于普通的橡胶衬套，一般阻尼角最大只能做到12°~18°，几乎不可能超过20°。
- 液压衬套通过在衬套中设计复杂的液室和流道，能够设计出在关注频率段出现大阻尼角的动态特性，如下图：
- 液压衬套存在的缺点是耐久性不如纯橡胶衬套，容易产生漏油的失效模式。
- 液压衬套应用最广泛的是动力总成悬置，其余涉及到平顺性的底盘部位也会用到，如麦弗逊式前悬架的下控制臂后衬套：
- 橡胶/悬置的动刚度除了与频率相关（一般频率越高，动刚度越大），也与振幅相关，一般测试振幅越小，动刚度越大。所以图纸中的动刚度测试条件要给定频率和振幅，甚至要给定预载。
- 对于动态特性的测试条件，根据衬套/悬置的实际使用工况决定。
五、其他模型
由于橡胶力学性能的复杂性，除了最简单的K-V模型，还衍生更多更准确、更复杂的模型，如下图：
以上模型，M1M3用了更复杂的弹簧、阻尼的串并联组合；M4M6引入了摩擦的因素。更详细的对比，可参考论文《Modelling of rubber components using estimated parameters》。
六、Adams仿真
Adams中，橡胶元件都用Bushing元素模拟。通常在操稳分析中，只需用简单的衬套属性文件，给定六向刚度即可。但如果要做精确的平顺性分析，衬套必须用更精确的，至少是能体现动态特性的模型文件替代。
如上图所示，Adams提供了多种其他衬套模型，Hydro_bushing代表液压模型，Frequency_bushing是频率相关模型，General_bushing是通用模型。
最常用的是Hydro_bushing模型，而General_bushing是最复杂的。Adams也自带这些模型的辨识工具，可以根据实际测量数据，辨识对应模型的参数，导出属性文件。具体可参考帮助文档。
参考文献
本文参考了以下文献：
[1] R.C.Frampton. The Dynamic Testing of Elastomers
[2] 陈毅敏.橡胶动态性能测试的基本原理以及特点. 2016
[3] Understanding and Using Dynamic Stiffness – A Tutorial
[4] 丁超. 橡胶衬套的静、动态特性分析[D]. 华中科技大学 2015年
[5] O.Polach Modelling of rubber components using estimated parameters