离散时间序列的内插算法（sinc 函数内插）

有些时候，为了后续处理更方便，我们需要对采集到的数据点进行内插处理，也就是所谓的增采样。本文就来讨论一下常用的几种内插算法。

sinc 函数内插

我们的信号 x(t) 是个实信号，带宽有限，能量有限。x[n] =x(nΔ)和 x’[n]  =x(nΔ’)是对这个信号的两种采样，并且都满足采样定理的要求，也就是说信息并没有丢失。两次采样的采样率满足如下关系。

也就是说第二种采样的采样率是第一种采样的采样率的M 倍。如果我们有了x’[n]，那么很容易获得x[n]：

但是反过来就不是那么容易了。下面就来推导如何在已知x[n]的情况下，计算出x’[n]。

对于连续信号x(t)，有如下关系。

对于离散信号x[n]，有如下关系。

这里的ω与Ω的关系如下：ω=ΩΔ，那X’(ω)与X(Ω)有什么关系呢？我们先假设X’(ω)=X(Ω)，那么有：

这说明，X’(ω)=X(Ω)/Δ。利用这个关系式，可以得到：

至此，利用sinc函数内插的公式就出来了：

当Δ=1时，上面式子还可以简化为：

下面是个测试例子，scilab 语言的。

function y = sinc_interp(x, n)
    s = size(x);
    if s(1) == 1 then 
        nx = s(2);
        ny =  (nx) * n;
        s(2) = ny;
    else
        nx = s(1);
        ny =  (nx) * n;
        s(1) = ny;
    end
    y = zeros(s(1), s(2));
    
    for(i = 1 : ny)
        t = (i - 1) / n + 1;
        a = ceil( t - 5 );
        b =  floor(t + 5);
        if (a < 1) then a = 1;  end
        if (b > nx) then b = nx;  end   
        if t == int(t) then
            y(i)  = x(t);
        else
            z = 0;
            for j =a : b
                z = z + x(j) * sin((t-j)*%pi) / ((t-j)*%pi);
            end 
            y(i) = z;
        end    
    end   
endfunction

用这个函数随便测试了一个随机生成的数列的内插结果。

再将这个结果与 fft 内插的结果比较一下，可以看到效果类似，之所以不完全相同，是因为这个代码中只用到了临近的5个数据点，而且到了边界处就直接截断处理了。而fft内插是将数据周期延拓后计算的结果。