基于 Python 的 M-K（Mann-Kendall）突变检验 的简单实现
M-K（Mann-Kendall）法是一种气候诊断与预测技术，可以判断气候序列中是否存在气候突变，如果存在，可确定出突变发生的时间。Mann-Kendall检验法也经常用于气候变化影响下的降水、干旱频次趋势检测。由于最初由曼(H.B.Mann)和肯德尔(M.G.Kendall)提出了原理并发展了这一方法，故称其为曼—肯德尔（Mann-Kendall）法。
1 原理
- 对于一个含有 n 个样本的时间序列 x，构造秩序列 s k s_k sk：
s k = ∑ i = 1 k r i , r i = { 1 , x i > x j 0 , x i ≤ x j , j = 1 , 2 , . . . , i (1) {s_k} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k}r_i, \quad r_i = \begin{cases} 1,\quad {x_i} > {x_j}\\ 0, \quad {x_i} ≤ {x_j} \end{cases}, \quad j = 1,2,...,i \tag{1} sk=i=1∑kri,ri={1,xi>xj0,xi≤xj,j=1,2,...,i(1) - 定义统计量 U F k UF_k UFk：
U F k = s k − E ( s k ) V a r ( s k ) , k = 1 , 2 , . . . n (2) UF_k = \frac{s_k - E(s_k)}{\sqrt{Var(s_k)}},\quad k = 1,2,...n \tag{2} UFk=Var(sk)sk−E(sk),k=1,2,...n(2)
其中：
E ( s k ) = n × ( n − 1 ) 4 (2-1) E(s_k) = \frac{n \times (n - 1)}{4} \tag{2-1} E(sk)=4n×(n−1)(2-1)
V a r ( s k ) = n × ( n − 1 ) × ( 2 n + 5 ) 72 (2-2) Var(s_k) = \frac{n \times (n - 1) \times (2n + 5)}{72} \tag{2-2} Var(sk)=72n×(n−1)×(2n+5)(2-2)
规定 U F 1 = 0 UF_1 = 0 UF1=0。 - 将序列 x 倒序，重复上述步骤，获得倒序下的 U F k r UF_kr UFkr，计算 U B k UB_k UBk：
U B k = − U F k r UB_k = -UF_kr UBk=−UFkr - 分析 U F k UF_k UFk 和 U B k UB_k UBk值
-
U F k UF_k UFk<0，说明持续减少趋势，值在 0.05 显著性水平线内，说明通过0.05显著性检验
-
U F k UF_k UFk和 U B k UB_k UBk曲线的交点在置信水平区间[-1.96 1.96]内，并且确定交点具体年份，说明该年份参数呈现突变性增长状态；
-
如果交点不位于检验范围内，说明交点没有通过0.05 的检验，所以该年份参数突变性不具有突变性
2 代码思路
这里建立一个随机序列来模拟代码数据处理过程。
import numpy as np
np.random.seed(0)
Data = np.random.uniform(size = 72)
公共参数准备：
根据公式 2-1 和 2-2，E 和 Var 仅与数据序号 n 有关，因此，这里先准备 E 和 Var。
参考网上的解释：i 从2开始，根据统计量UFk公式，i=1时，Sk（1）、E（1）、Var（1）均为0，此时UFk无意义，因此公式中，令UFk（1） = 0
# 对时序数据 X ，生成一个序号序列，次数列范围为 2 ~ n。
# i 从 2 开始（即第二个数，其编号为 1，此时 1 处没有必要进行计算，因为其之前没有数据，所以这里从 2 开始生成）
# 规定第一个结果为0，因此我们不考虑第一个位置的结果
NUMI = np.arange(1, len(Data))
# 计算 E
# E = NUMI * (NUMI - 1) / 4
E = (NUMI + 1) * NUMI / 4
# 计算 Var
# VAR = NUMI * (NUMI - 1) * (2 * NUMI + 5) / 72
VAR = (NUMI + 1) * NUMI * (2 * (NUMI + 1) + 5) / 72
第一步：正序计算 U F k UF_k UFk
# 1.计算 Ri。即：序列中的某一个值与此值之前的所有值以此相比，结果为大出现的次数。
Ri = [(Data[i] > Data[:i]).sum() for i in NUMI]
# 2.计算 Sk。使用 numpy 累计求和函数 cumsum。
Sk = np.cumsum(Ri)
# 3.计算 UFk。考虑到 i 从 1 开始，因此把未计算的两个位置填充 0 。
UFk = np.pad((Sk - E) / np.sqrt(VAR), (1,0))
第二步：倒序计算 U B k UB_k UBk
# 思路参考第一步，这里进行简写。
## 对于倒序，由于 Python 支持传入负数表示倒序取值，这里利用此特性直接生成倒序（反向） Bk，不包含最后一个数（编号 -1）。
Bk = np.cumsum([(Data[i] > Data[i:]).sum() for i in -(NUMI+1)])
## 按照 UFk 的计算方法后取负数即为 UBk。由于本身未对 Data 进行倒序，这里计算完成后对数据进行倒序。
UBk = np.pad((-(Bk - E) / np.sqrt(VAR)), (1,0))[::-1]
3 绘图
import matplotlib.pyplot as plt
# 配置参数
PAR = {'font.sans-serif': 'Times New Roman',
'axes.unicode_minus': False
}
plt.rcParams.update(PAR)
plt.figure(figsize = (10, 5.5), dpi = 300)
plt.plot(range(1 ,len(Data)+1),UFk,label = 'UFk',color = 'orange')
plt.plot(range(1 ,len(Data)+1),UBk,label = 'UBk',color = 'cornflowerblue')
plt.grid(True, linestyle = (0,(6,6)), linewidth = 0.4)
## 画出 0.05 置信区间边界
x_lim = plt.xlim()
plt.plot(x_lim,[-1.96,-1.96],linestyle = (0,(6,6)),color = 'r')
plt.plot(x_lim, [0,0],linestyle = (0,(6,6)))
plt.plot(x_lim,[1.96,1.96],linestyle = (0,(6,6)),color = 'r')
plt.legend(frameon = False)
plt.show()
4 后续
- gma 会在 1.0.12 版本合入此算法，并对其进行扩展。欢迎各位使用、反馈和讨论。
- 反馈请联系：Luo_Suppe（微信号）。