机器学习中的群论

群及其表示理论

群论是一个发展很好的数学分支，有很多与之相关的文献。
我们几乎不可能用一个章节就把群论的精髓完全传达出来。
我们的目标是介绍群论中的主流方法，并且说明一些有关那些没有大笔墨介绍的方法的思考。

群

群论的概念是现代数学的基石之一。
一个群$G$是一个带有运算$G\times G\to G$，并且这个运算满足某些公理。
为了和大多数文献保持一致，我们使用乘法标注群运算。
因此，我们应用群运算到群元素$x$和$y$上，得到计算结果$xy$或者$x\cdot y$，
表示$x$和$y$的乘积。群元素必须满足四个公理:
1.对于任意的$x,y\in G$，$xy$ 也是$G$中的一个元素。（闭环）
2.对于任意的$x,y,z\in G$，$(xy)z=x(yz)$。（交换性）
3.$G$中有一个唯一的元素$e$，称之为单位元，满足对于任意的$x\in G$，$ex=xe=x$成立。
4.对于任意的$x\in G$，在$G$中能找到另一个元素$x^{-1}\in G$，满足$x{x}^{-1}=x^{-1}x=e$。
$x^{-1}$ 叫做$x$的逆。

给定两个群$G,G^{\prime }$, 如果有一个一一映射 $\varphi :G\to G^{\prime }$
使得 $\varphi (x)\varphi (y)=\varphi (xy),\forall x,y\in G$，
那么这两个群$G,G^{\prime }$是同构的。我们用$G\cong G^{\prime }$来表示这种关系。
由于群论的重要性在于结构而不是实际群元素的识别，因此同构的群经常被当做相同的群。

群的分类

根据群是有限的还是无限的，离散的还是连续的，群论可以被分为很多领域。
最简单的研究是有限群。有限群中的元素数量是有限的。
$G$的基数(cardinality)叫做$G$的阶(order)，表示为 $|G|$。基数是集合论中刻画任意集合大小的
一个概念。
通过列举它的元素和在乘法表中定义群运算，我们可以构建一个有限群。
比如，Felix Klein’s Viergruppe（德语，四个元素的群），表示为$V$，有四个元素，乘法规则如下

	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

有一些正规系列的有限群。
对于任意的$n\ge 1$，整数$0,1,2,\dots ,n-1$在对n进行加法运算下构成了一个群。这是一个n阶的循环群
(cyclic group)，表示为 ${\mathbb{Z}}_n$。有时也用 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 或者 $C_n$
表示。另一个重要的系列是 ${\mathbb{S}}_n$。