机器学习中的群论

机器学习中的群论

  • 群及其表示理论
      • 群的分类

群及其表示理论

群论是一个发展很好的数学分支,有很多与之相关的文献。
我们几乎不可能用一个章节就把群论的精髓完全传达出来。
我们的目标是介绍群论中的主流方法,并且说明一些有关那些没有大笔墨介绍的方法的思考。

群论的概念是现代数学的基石之一。
一个群 G G G是一个带有运算 G × G → G G \times G \to G G×GG,并且这个运算满足某些公理。
为了和大多数文献保持一致,我们使用乘法标注群运算。
因此,我们应用群运算到群元素 x x x y y y上,得到计算结果 x y xy xy或者 x ⋅ y x \cdot y xy
表示 x x x y y y的乘积。群元素必须满足四个公理:
1.对于任意的 x , y ∈ G x,y \in G x,yG x y xy xy 也是 G G G中的一个元素。(闭环)
2.对于任意的 x , y , z ∈ G x,y,z \in G x,y,zG ( x y ) z = x ( y z ) (xy)z=x(yz) (xy)z=x(yz)。(交换性)
3. G G G中有一个唯一的元素 e e e,称之为单位元,满足对于任意的 x ∈ G x \in G xG e x = x e = x ex=xe=x ex=xe=x成立。
4.对于任意的 x ∈ G x \in G xG,在 G G G中能找到另一个元素 x − 1 ∈ G x^{-1} \in G x1G,满足 x x − 1 = x − 1 x = e xx^{-1}=x^{-1}x=e xx1=x1x=e
x − 1 x^{-1} x1 叫做 x x x的逆。

给定两个群 G , G ′ G,G^\prime G,G, 如果有一个一一映射 ϕ : G → G ′ \phi: G \to G^\prime ϕ:GG
使得 ϕ ( x ) ϕ ( y ) = ϕ ( x y ) , ∀ x , y ∈ G \phi(x)\phi(y)=\phi(xy),\forall x,y\in G ϕ(x)ϕ(y)=ϕ(xy),x,yG
那么这两个群 G , G ′ G,G^\prime G,G是同构的。我们用 G ≅ G ′ G\cong G^\prime GG来表示这种关系。
由于群论的重要性在于结构而不是实际群元素的识别,因此同构的群经常被当做相同的群。

群的分类

根据群是有限的还是无限的,离散的还是连续的,群论可以被分为很多领域。
最简单的研究是有限群。有限群中的元素数量是有限的。
G G G的基数(cardinality)叫做 G G G的阶(order),表示为 ∣ G ∣ |G| G。基数是集合论中刻画任意集合大小的
一个概念。
通过列举它的元素和在乘法表中定义群运算,我们可以构建一个有限群。
比如,Felix Klein’s Viergruppe(德语,四个元素的群),表示为 V V V,有四个元素,乘法规则如下

e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e

有一些正规系列的有限群。
对于任意的 n ≥ 1 n\geq 1 n1,整数 0 , 1 , 2 , … , n − 1 0,1,2,\dots,n-1 0,1,2,,n1在对n进行加法运算下构成了一个群。这是一个n阶的循环群
(cyclic group),表示为 Z n \mathbb{Z}_n Zn。有时也用 Z / n Z \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} Z/nZ 或者 C n C_n Cn
表示。另一个重要的系列是 S n \mathbb{S}_n Sn

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