机器学习入门-西瓜书总结笔记第四章

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提示：后续精简

一、基本流程

• 决策树（decision tree） 决策树是基于树结构来进行决策的
• 一般的，一个决策树包含一个根节点、若干个内部节点和若干个叶节点；叶结点对应于决策结果，其他每个结点则对应于一个属性测试；每个结点包含的样本集合根据属性测试的结果被划分到子节点中；根结点包含样本全集
• 决策树学习的目的是为了产生一颗泛化能力强，即处理未见示例能力强的决策树，其基本流程遵循简单且直观的 “分而治之”（divide-and-conquer） 策略
  
• 决策树的生成是一个递归过程，有三种情形会导致递归返回：（1）当前结点包含的样本全属于同一个类别，无需划分；（2）当前属性集为空，或是所有样本在所有属性上取值相同，无法划分；（3）当前结点包含的样本集合为空，不能划分

二、划分选择

• 如何选择最优划分属性，我们希望决策树的分支结点所包含的样本尽可能属于同一类别，即结点的 “纯度”（purity） 越来越高

1.信息增益

• “信息熵”（information entropy）是度量样本集合纯度最常用的一种指标，假定当前样本集合D中第k类样本所占比例为$p_k(k=1,2,\cdots ,|y|)$
  $$Ent(D)=-\sum _{k=1}^{|y|}{p}_{k}lo{g}_2{p}_k$$
  $Ent(D)$的值越小，则D的纯度越高。
• “信息增益”（information gain）
  $$Gain(D,a)=Ent(D)-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v)$$
  a 离散属性，V个可能取值，第v个分支结点包含了D中所有在属性a取值为$a^v$的样本，记为$D^v$，给分支结点赋予权重$|D^v|/|D|$。
• 信息增益越大，则意味着使用属性a进行划分所获得的“纯度提升”越大
  $$a_{\ast }=\underset{a\in A}{\mathrm{argmax}}Gain(D,a)$$
• ID3决策树学习算法就是以信息增益为准则来选择划分属性

自行阅读书中西瓜利用ID3划分的例子

2.增益率

信息增益准则对取值数目较多的属性有所偏好

• C4.5决策树 算法不直接使用信息增益，而是使用 “增益率”（gain ratio） 来选择最优划分属性
  $$Gain\_ratio(D,a)=\frac{Gain(D,a)}{IV(a)}$$
  其中
  $$IV(a)=-\sum _{v=1}V\frac{|D^v|}{|D|}lo{g}_2\frac{|D^v|}{|D|}$$
  称为属性a的 “固有值”（intrinsic value），属性a的可能取值数目越多（即V越大），则$IV(a)$的值通常会越大
• 信息增益率对可取值数目较少的属性有所偏好，因此C4.5算法并不是直接选择信息增益率最大的候选划分属性，而是使用了一个 启发式：先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的

3.基尼指数

• CART决策树使用“基尼指数”（Gini index）来选择划分属性，数据集D的纯度可用基尼值来度量
  $$\begin{array}{rl}Gini(D)& =\sum _{k=1}^{|y|}\sum _{k^{\prime }\ne k}{p}_k{p}_{k^{\prime }}\\ & =1-\sum _{k=1}^{|y|}{p}_k^2\end{array}$$
  Gini(D)越小，则数据集D的纯度越高

• 属性a的基尼指数定义为
  $$Gini\_index(D,a)=\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Gini(D^v)$$
  在候选属性集合A中，选择那个划分后基尼指数最小的属性作为最优划分属性$a_{\ast }=\underset{a\in A}{\mathrm{argmin}}Gini\_index(D,a)$

3.剪枝处理

剪枝（pruning） 是决策树学习算法对付“过拟合”的主要手段

• “预剪枝”（prepruning） 是指在决策树生成过程中，对每个结点在划分前先进行估计，若当前结点的划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止划分当前结点标记为叶结点；
• “后剪枝”（post-pruning） 是先从训练集生成一颗完整的决策树，然后从底向上地对非叶结点进行考察，若将结点对应的子树替换为叶结点能带来决策树泛化性能提升，则将该子树替换为叶结点
• “决策树状”（decision stump） 一颗仅有一层划分的决策树
• 预剪枝基于“贪心” 本质禁止某些分支展开，给预剪枝决策树带来欠拟合风险。
• 后剪枝欠拟合风险小，泛化性能好，但开销大
  

四、连续值与缺失值

1.连续值处理

• 连续属性离散化技术，最简单的策略是采用二分法（bi-partition）对连续属性进行处理，这正式C4.5决策树算法采用的机制。
• 样本取值，从小到大排序，$\{a^1,a^2,\cdots ,a^n\}$，基于划分点t可将D分为两个子集$D_t^{-}$和$D_t^{+}$，我们可考察包含n-1个元素的候选划分集合
  $$T_a=\{\frac{a^i+a^{i+1}}{2}|1\le i\le n-1\},$$
  然后就可以像离散属性值一样来考察这些划分点，选取最优的划分点进行样本集合的划分
  $$\begin{array}{rl}Gain(D,a)& =\underset{t\in T_a}{\max }Gain(D,a,t)\\ & =\underset{t\in T_a}{\max }Ent(D)-\sum _{\lambda \in \{-,+\}}\frac{|D_t^{\lambda }|}{|D|}Ent(D_t^{\lambda })\end{array}$$
  其中$Gain(D,a,t)$是样本集D基于划分点$t$二分后的信息增益，选择使$Gain(D,a,t)$最大化的划分点
• 当前结点划分属性为连续属性，该属性还可作为后代结点的划分属性

2.缺失值处理

给定训练集D和属性a，令$\tilde{D}$表示D中属性a上没有缺失值的样本子集，属性a有V个取值，属于第k类标记，$\tilde{D}=U_{k=1}^{|y|}{\tilde{D}}_k$，$\tilde{D}=U_{v=1}^{|V|}{\tilde{D}}_v$，假定我们为每个样本$x\text{x}x$赋予一个权重$w_x$，并定义
$$\begin{gathered} \rho =\frac{{\sum }_{x\in \tilde{D}}{w}_x}{{\sum }_{x\in D}{w}_x} \\ {\tilde{p}}_k=\frac{{\sum }_{x\in {\tilde{D}}_k}{w}_x}{{\sum }_{x\in \tilde{D}}{w}_x}(1\le k\le |y|), \\ {\tilde{r}}_v=\frac{{\sum }_{x\in {\tilde{D}}^v}{w}_x}{{\sum }_{x\in \tilde{D}}{w}_x}(1\le v\le |V|), \end{gathered}$$
对属性a，$\rho$表示无缺失值样本所占的比例，${\tilde{p}}_k$表示无缺失值样本第k类所占比例，${\tilde{r}}_v$则表示无缺失值样本中在属性a上取值$a^v$的样本所占比例。${\sum }_{k=1}^{|y|}{\tilde{p}}_k=1$，${\sum }_{v=1}^V{\tilde{r}}_v=1$
信息增益的计算式推广为
$$\begin{array}{rl}Gain(D,a)& =\rho \times Gain(\tilde{D},a)\\ & =\rho \times (Ent(\tilde{D})-\sum _{v=1}^V{\tilde{r}}_{v}Ent({\tilde{D}}^v))\end{array}$$
其中
$$Ent(\tilde{D})=-\sum _{k=1}^{|y|}{\tilde{p}}_{k}lo{g}_2{\tilde{p}}_k$$

• 直观上来看，就是让同一个样本以不同的概率划入到不同的子节点中去。C4.5使用了上述算法

五、多变量决策树

• 决策树所形成的边界有一个明显特点：轴平行（axis-parallel） ，即它的分类边界由若干个与坐标轴平行的分段组成
  

• “多变量决策树”（multivariate decision tree） 每个非叶结点不再是仅对某个属性，例如，每个非叶结点是一个形如${\sum }_{i=1}^d{w}_i{a}_i=t$的线性分类器，其中$w_i$是属性$a_i$的权重，与传统 “单变量决策树”（univariate decision tree） 。