C++ map和set

板书笔记红黑树  (Web 视图)

目录

1. 关联式容器

2. 键值对

3. 树形结构的关联式容器

3.1 set

3.1.1 set的介绍

3.1.2 set的使用

1. set的模板参数列表

2. set的构造

3. set的迭代器

4. set的容量

5. set修改操作

6. set的使用举例

3.2 map

3.2.1 map的介绍

3.2.2 map的使用

3.3 multiset

3.3.1 multiset的介绍

3.3.2 multiset的使用

3.4 multimap

3.4.1 multimap的介绍

3.4.2 multimap的使用

3.5 在OJ中的使用

1.前K个高频单词

2. 两个数组的交集I

4. 底层结构

4.1 AVL 树                            

4.1.1 AVL树的概念 

                            ​编辑                       

4.1.2 AVL树节点的定义

4.1.3 AVL树的插入

4.1.4 AVL树的旋转

 4.1.5 AVL树的验证

 4.1.6 AVL树的删除(了解) 

4.1.7 AVL树的性能

4.2 红黑树

4.2.1 红黑树的概念

 4.2.2 红黑树的性质

4.2.3 红黑树节点的定义 

4.2.4 红黑树结构

4.2.5 红黑树的插入操作

 4.2.6 红黑树的验证

 4.2.7 红黑树的删除

 4.2.8 红黑树与AVL树的比较

4.2.9 红黑树的应用 

4.3 红黑树模拟实现STL中的map与set  

4.3.1 红黑树的迭代器

4.3.2 改造红黑树

4.3.3 map的模拟实现

4.3.4 set的模拟实现

---

1. 关联式容器

在初阶阶段，我们已经接触过 STL 中的部分容器，比如： vector 、 list 、 deque、 forward_list(C++11)等，这些容器统称为序列式容器，因为其底层为线性序列的数据结构，里面

存储的是元素本身。那什么是关联式容器？它与序列式容器有什么区别？

关联式容器 也是用来存储数据的，与序列式容器不同的是，其 里面存储的是 结构的 键值对，在数据检索时比序列式容器效率更高

2. 键值对

用来表示具有一一对应关系的一种结构，该结构中一般只包含两个成员变量 key 和 value ， key 代

表键值， value 表示与 key 对应的信息 。比如：现在要建立一个英汉互译的字典，那该字典中必然

有英文单词与其对应的中文含义，而且，英文单词与其中文含义是一一对应的关系，即通过该应

该单词，在词典中就可以找到与其对应的中文含义。

SGI-STL 中关于键值对的定义：

template 
struct pair
{
typedef T1 first_type;
typedef T2 second_type;

T1 first;
T2 second;
pair(): first(T1()), second(T2())
{}

pair(const T1& a, const T2& b): first(a), second(b)
{}
};

3. 树形结构的关联式容器

根据应用场景的不桶， STL 总共实现了两种不同结构的管理式容器：树型结构与哈希结构。 树型结

构的关联式容器主要有四种： map 、 set 、 multimap 、 multiset 。这四种容器的共同点是：使用平衡搜索树( 即红黑树 ) 作为其底层结果，容器中的元素是一个有序的序列。下面一依次介绍每一

个容器。

3.1 set

3.1.1 set的介绍

set - C++ Reference

翻译：

1. set 是按照一定次序存储元素的容器

2. 在 set 中，元素的 value 也标识它 (value 就是 key ，类型为 T) ，并且每个 value 必须是唯一的。set中的元素不能在容器中修改 ( 元素总是 const) ，但是可以从容器中插入或删除它们。

3. 在内部， set 中的元素总是按照其内部比较对象 ( 类型比较 ) 所指示的特定严格弱排序准则进行排序。

4. set 容器通过 key 访问单个元素的速度通常比 unordered_set 容器慢，但它们允许根据顺序对

子集进行直接迭代。

5. set 在底层是用二叉搜索树 ( 红黑树 ) 实现的。

注意：

1. 与 map/multimap 不同， map/multimap 中存储的是真正的键值对 ， set 中只放

value ，但在底层实际存放的是由 构成的键值对。

2. set 中插入元素时，只需要插入 value 即可，不需要构造键值对。

3. set 中的元素不可以重复 ( 因此可以使用 set 进行去重 ) 。

4. 使用 set 的迭代器遍历 set 中的元素，可以得到有序序列

5. set 中的元素默认按照小于来比较

6. set 中查找某个元素，时间复杂度为： $log_2 n$

7. set 中的元素不允许修改 ( 为什么 ?)

8. set 中的底层使用二叉搜索树 ( 红黑树 ) 来实现

3.1.2 set的使用

1. set的模板参数列表

 T: set中存放元素的类型，实际在底层存储的键值对。

Compare：set中元素默认按照小于来比较

Alloc ： set 中元素空间的管理方式，使用 STL 提供的空间配置器管理

2. set的构造

函数声明	功能介绍
set (const Compare& comp = Compare(), const Allocator& = Allocator() );	构造空的 set
set (InputIterator fifirst, InputIterator last, const Compare& comp = Compare(), const Allocator& = Allocator() );	用 [fifirst, last) 区 间中的元素构造 set
set ( const set& x);	set 的拷贝构造

3. set的迭代器

函数声明	功能介绍
iterator begin()	返回 set 中起始位置元素的迭代器
iterator end()	返回 set 中最后一个元素后面的迭代器
const_iterator cbegin() const	返回 set 中起始位置元素的 const 迭代器
const_iterator cend() const	返回 set 中最后一个元素后面的 const 迭代器
reverse_iterator rbegin()	返回 set 第一个元素的反向迭代器，即 end
reverse_iterator rend()	返回 set 最后一个元素下一个位置的反向迭代器， 即 rbegin
const_reverse_iterator crbegin() const	返回 set 第一个元素的反向 const 迭代器，即 cend
const_reverse_iterator crend() const	返回 set 最后一个元素下一个位置的反向 const 迭 代器，即 crbegin

4. set的容量

函数声明	功能介绍
bool empty ( ) const	检测 set 是否为空，空返回 true ，否则返回 true
size_type size() const	返回set中有效元素的个数

5. set修改操作

函数声明	功能介绍
pair insert ( const value_type& x )	在 set 中插入元素 x ，实际插入的是 构成的 键值对，如果插入成功，返回 < 该元素在 set 中的 位置， true>, 如果插入失败，说明 x 在 set 中已经 存在，返回 在 set 中的位置， false>
void erase ( iterator position )	删除 set 中 position 位置上的元素
size_type erase ( const key_type& x )	删除 set 中值为 x 的元素，返回删除的元素的个数
void erase ( iterator first, iterator last )	删除 set 中 [fifirst, last) 区间中的元素
void swap ( set& st );	交换 set 中的元素
void clear ( )	将 set 中的元素清空
iterator fifind ( const key_type& x ) const	返回 set 中值为 x 的元素的位置
size_type count ( const key_type& x ) const	返回 set 中值为 x 的元素的个数

6. set的使用举例

 

#include 
void TestSet()
{
	// 用数组array中的元素构造set
	int array[] = { 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0, 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4,
6, 8, 0 };
	set s(array, array + sizeof(array) / sizeof(array));
	cout << s.size() << endl;
	// 正向打印set中的元素，从打印结果中可以看出：set可去重
	for (auto& e : s)
		cout << e << " ";
	cout << endl;
	// 使用迭代器逆向打印set中的元素
	for (auto it = s.rbegin(); it != s.rend(); ++it)
		cout << *it << " ";
	cout << endl;
	// set中值为3的元素出现了几次
	cout << s.count(3) << endl;
}

3.2 map

3.2.1 map的介绍

map - C++ Reference

翻译：

1. map 是关联容器，它按照特定的次序 ( 按照 key 来比较 ) 存储由键值 key 和值 value 组合而成的元素。

2. 在 map 中，键值 key 通常用于排序和惟一地标识元素，而值 value 中存储与此键值 key 关联的

内容。键值 key 和值 value 的类型可能不同，并且在 map 的内部， key 与 value 通过成员类型 value_type绑定在一起，为其取别名称为 pair: typedef pair value_type;

3. 在内部， map 中的元素总是按照键值 key 进行比较排序的。

4. map 中通过键值访问单个元素的速度通常比 unordered_map 容器慢，但 map 允许根据顺序

对元素进行直接迭代 ( 即对 map 中的元素进行迭代时，可以得到一个有序的序列 ) 。

5. map 支持下标访问符，即在 [] 中放入 key ，就可以找到与 key 对应的 value 。

6. map 通常被实现为二叉搜索树 ( 更准确的说：平衡二叉搜索树 ( 红黑树 )) 。

3.2.2 map的使用

1. map的模板参数说明

key: 键值对中 key 的类型

T ： 键值对中 value 的类型

Compare: 比较器的类型， map 中的元素是按照 key 来比较的，缺省情况下按照小于来比较，一般情况下( 内置类型元素 ) 该参数不需要传递，如果无法比较时 ( 自定义类型 ) ，需要用户自己显式传递比较规则( 一般情况下按照函数指针或者仿函数来传递 )

Alloc ：通过空间配置器来申请底层空间，不需要用户传递，除非用户不想使用标准库提供的

空间配置器

注意：在使用 map 时，需要包含头文件

2. map的构造

函数声明	功能介绍
map()	构造一个空的 map

3. map的迭代器

函数声明	功能介绍
begin()和end()	begin:首元素的位置，end最后一个元素的下一个位置
cbegin()和cend()	与begin和end意义相同，但cbegin和cend所指向的元素不 能修改
rbegin()和rend()	反向迭代器，rbegin在end位置，rend在begin位置，其 ++和--操作与begin和end操作移动相反
crbegin()和crend()	与rbegin和rend位置相同，操作相同，但crbegin和crend所 指向的元素不能修改

4. map的容量与元素访问

函数声明	功能简介
bool empty ( ) const	检测 map 中的元素是否为空，是返回 true ，否则返回 false
size_type size() const	返回 map 中有效元素的个数
mapped_type& operator[] (const key_type& k)	返回去 key 对应的 value

问题：当key不在map中时，通过operator获取对应value时会发生什么问题？

 注意：在元素访问时，有一个与operator[]类似的操作at()(该函数不常用)函数，都是通过key找到与key对应的value然后返回其引用，不同的是：当key不存在时，operator[]用默认value与key构造键值对然后插入，返回该默认value，at()函数直接抛异常。

5. map中元素的修改

函数声明	功能介绍
pair insert ( const value_type& x )	在 map 中插入键值对 x ，注意 x 是一个键值 对，返回值也是键值对： iterator 代表新插入 元素的位置， bool 代表释放插入成功
void erase ( iterator position )	删除 position 位置上的元素
size_type erase ( const key_type& x )	删除键值为 x 的元素
void erase ( iterator fifirst, iterator last )	删除 [fifirst, last) 区间中的元素
void swap ( map& mp )	交换两个 map 中的元素
void clear ( )	将 map 中的元素清空
iterator fifind ( const key_type& x )	在 map 中插入 key 为 x 的元素，找到返回该元 素的位置的迭代器，否则返回 end
const_iterator fifind ( const key_type& x ) const	在 map 中插入 key 为 x 的元素，找到返回该元 素的位置的 const 迭代器，否则返回 cend
size_type count ( const key_type& x ) const	返回 key 为 x 的键值在 map 中的个数，注意 map 中 key 是唯一的，因此该函数的返回值 要么为 0 ，要么为 1 ，因此也可以用该函数来 检测一个 key 是否在 map 中

#include 
#include 

 【总结】

1. map 中的的元素是键值对

2. map 中的 key 是唯一的，并且不能修改

3. 默认按照小于的方式对 key 进行比较

4. map 中的元素如果用迭代器去遍历，可以得到一个有序的序列

5. map 的底层为平衡搜索树 ( 红黑树 ) ，查找效率比较高 $O(log_2 N)$

6. 支持 [] 操作符， operator[] 中实际进行插入查找。

3.3 multiset

3.3.1 multiset的介绍

multiset - C++ Reference

[ 翻译 ] ：

1. multiset 是按照特定顺序存储元素的容器，其中元素是可以重复的。

2. 在 multiset 中，元素的 value 也会识别它 ( 因为 multiset 中本身存储的就是 组成

的键值对，因此 value 本身就是 key ， key 就是 value ，类型为 T). multiset 元素的值不能在容器

中进行修改 ( 因为元素总是 const 的 ) ，但可以从容器中插入或删除。

3. 在内部， multiset 中的元素总是按照其内部比较规则 ( 类型比较 ) 所指示的特定严格弱排序准则进行排序。

4. multiset 容器通过 key 访问单个元素的速度通常比 unordered_multiset 容器慢，但当使用迭

代器遍历时会得到一个有序序列。

5. multiset 底层结构为二叉搜索树 ( 红黑树 ) 。

注意：

1. multiset 中再底层中存储的是 的键值对

2. mtltiset 的插入接口中只需要插入即可

3. 与 set 的区别是， multiset 中的元素可以重复， set 是中 value 是唯一的

4. 使用迭代器对 multiset 中的元素进行遍历，可以得到有序的序列

5. multiset 中的元素不能修改

6. 在 multiset 中找某个元素，时间复杂度为 $O(log_2 N)$

7. multiset 的作用：可以对元素进行排序

3.3.2 multiset的使用

此处只简单演示set与multiset的不同，其他接口接口与set相同，可参考set。

#include 
void TestSet()
{
	int array[] = { 2, 1, 3, 9, 6, 0, 5, 8, 4, 7 };

	// 注意：multiset在底层实际存储的是的键值对
	multiset s(array, array + sizeof(array) / sizeof(array[0]));
	for (auto& e : s)
		cout << e << " ";
	cout << endl;
	return 0;
}

3.4 multimap

3.4.1 multimap的介绍

multimap - C++ Reference

翻译：

1. Multimaps 是关联式容器，它按照特定的顺序，存储由 key 和 value 映射成的键值对

value> ，其中多个键值对之间的 key 是可以重复的。

2. 在 multimap 中，通常按照 key 排序和惟一地标识元素，而映射的 value 存储与 key 关联的内

容。 key 和 value 的类型可能不同，通过 multimap 内部的成员类型 value_type 组合在一起，value_type是组合 key 和 value 的键值对 : typedef pair value_type;

3. 在内部， multimap 中的元素总是通过其内部比较对象，按照指定的特定严格弱排序标准对

key 进行排序的。

4. multimap 通过 key 访问单个元素的速度通常比 unordered_multimap 容器慢，但是使用迭代

器直接遍历 multimap 中的元素可以得到关于 key 有序的序列。

5. multimap 在底层用二叉搜索树 ( 红黑树 ) 来实现。

注意： multimap 和 map 的唯一不同就是： map 中的 key 是唯一的，而 multimap 中 key 是可以

重复的 。

3.4.2 multimap的使用

multimap 中的接口可以参考 map ，功能都是类似的。

注意：

1. multimap 中的 key 是可以重复的。

2. multimap 中的元素默认将 key 按照小于来比较

3. multimap 中没有重载 operator[] 操作 ( 同学们可思考下为什么 ?) 。

4. 使用时与 map 包含的头文件相同：

3.5 在OJ中的使用

1.前K个高频单词

力扣

class Solution {
public:
	class Compare
	{
	public:
		// 在set中进行排序时的比较规则
		bool operator()(const pair& left, const
			pair& right)
		{
			return left.second > right.second;
		}
	};
	vector topKFrequent(vector& words, int k)
	{
		// 用<单词，单词出现次数>构建键值对，然后将vector中的单词放进去，统计每
		个单词出现的次数
			map m;
		for (size_t i = 0; i < words.size(); ++i)
			++(m[words[i]]);
		// 将单词按照其出现次数进行排序，出现相同次数的单词集中在一块
		multiset, Compare> ms(m.begin(), m.end());
		// 将相同次数的单词放在set中，然后再放到vector中
		set s;
		size_t count = 0;   // 统计相同次数单词的个数
		size_t leftCount = k;

		vector ret;
		for (auto& e : ms)
		{
			if (!s.empty())
			{
				// 相同次数的单词已经全部放到set中
				if (count != e.second)
				{
					if (s.size() < leftCount)
					{
						ret.insert(ret.end(), s.begin(), s.end());
						leftCount -= s.size();
						s.clear();
					}
					else
					{
						break;
					}
				}
			}
			count = e.second;
			s.insert(e.first);
		}
		for (auto& e : s)
		{
			if (0 == leftCount)
				break;
			ret.push_back(e);
			leftCount--;
		}
		return ret;
	}
};

2. 两个数组的交集I

力扣

class Solution {
public:
	vector intersection(vector& nums1, vector& nums2) {
		// 先去重
		set s1;
		for (auto e : nums1)
		{
			s1.insert(e);
		}
		set s2;
		for (auto e : nums2)
		{
			s2.insert(e);
		}

		// set排过序，依次比较，小的一定不是交集，相等的是交集
		auto it1 = s1.begin();
		auto it2 = s2.begin();
		vector ret;
		while (it1 != s1.end() && it2 != s2.end())
		{
			if (*it1 < *it2)
			{
				it1++;
			}
			else if (*it2 < *it1)
			{
				it2++;
			}
			else
			{
				ret.push_back(*it1);
				it1++;
				it2++;
			}
		}
		return ret;
	}
};

4. 底层结构

前面对 map/multimap/set/multiset 进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个

共同点是： 其底层都是按照二叉搜索树来实现的 ，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N) ，因此map、 set 等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

4.1 AVL 树                            

4.1.1 AVL树的概念 

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查

找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下 。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii

和 E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

                                                   

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在

$O(log_2 n)$ ，搜索时间复杂度 O($log_2 n$) 。

4.1.2 AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

template
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}
	AVLTreeNode* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

4.1.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子                                                                        

bool Insert(const T& data) {
	// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
	// ...

	// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
	破坏了AVL树
		//   的平衡性

	 /*
	 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
	 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
	  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
	  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
	  
	 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
	  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
	成0，此时满足
	     AVL树的性质，插入成功
	  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
	新成正负1，此
	     时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
	  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
	行旋转处理
	 */
		while (pParent)
		{
			// 更新双亲的平衡因子
			if (pCur == pParent->_pLeft)
				pParent->_bf--;
			else
				pParent->_bf++;
			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (0 == pParent->_bf)
			{
				break;
			}
			else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
			{
				// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲
				为根的二叉树
					// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
					pCur = pParent;
				pParent = pCur->_pParent;
			}
			else
			{
				// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
				// 为根的树进行旋转处理
				if (2 == pParent->_bf)
				{
					// ...
				}
				else
				{
					// ...
				}
			}
		}
	return true;
}

4.1.4 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，

使之平衡化。根据节点插入位置的不同， AVL 树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧 --- 左左：右单旋

/*
  上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
子树增加
  了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子
树增加一层，
  即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点
的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
  1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  2. 60可能是根节点，也可能是子树
     如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
     如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
    
同学们再此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
*/
void _RotateR(PNode pParent) {
	// pSubL: pParent的左孩子
	// pSubLR: pParent左孩子的右孩子，注意：该
	PNode pSubL = pParent->_pLeft;
	PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
	// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
	pParent->_pLeft = pSubLR;
	// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
	if (pSubLR)
		pSubLR->_pParent = pParent;
	// 60 作为 30的右孩子
	pSubL->_pRight = pParent;

	// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
	PNode pPParent = pParent->_pParent;

	// 更新60的双亲
	pParent->_pParent = pSubL;

	// 更新30的双亲
	pSubL->_pParent = pPParent;
	// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
	if (NULL == pPParent)
	{
		_pRoot = pSubL;
		pSubL->_pParent = NULL;
	}
	else
	{
		// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
		if (pPParent->_pLeft == pParent)
			pPParent->_pLeft = pSubL;
		else
			pPParent->_pRight = pSubL;
	}
	// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
	pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧 --- 右右：左单旋

 实现及情况考虑可参考右单旋。

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

 将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进
行调整
void _RotateLR(PNode pParent) {
	PNode pSubL = pParent->_pLeft;
	PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

	// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
	点的平衡因子
		int bf = pSubLR->_bf;

	// 先对30进行左单旋
	_RotateL(pParent->_pLeft);

	// 再对90进行右单旋
	_RotateR(pParent);
	if (1 == bf)
		pSubL->_bf = -1;
	else if (-1 == bf)
		pParent->_bf = 1;
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧 --- 右左：先右单旋再左单旋

参考右左双旋。

总结：

假如以 pParent 为根的子树不平衡，即 pParent 的平衡因子为 2 或者 -2 ，分以下情况考虑

1. pParent 的平衡因子为 2 ，说明 pParent 的右子树高，设 pParent 的右子树的根为 pSubR

• 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
• 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. pParent 的平衡因子为 -2 ，说明 pParent 的左子树高，设 pParent 的左子树的根为 pSubL

• 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
• 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原 pParent 为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

 4.1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
• 节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot) {
	// 空树也是AVL树
	if (nullptr == pRoot) return true;

	// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
	int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
	int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
	int diff = rightHeight - leftHeight;
	// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
	if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
		return false;
	// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
	return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot - > _pRight);
}

3. 验证用例

结合上述代码按照以下的数据次序，自己动手画 AVL 树的创建过程，验证代码

是否有漏洞。

• 常规场景1  {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}
• 特殊场景2  {4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14}

 4.1.6 AVL树的删除(了解) 

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

4.1.7 AVL树的性能

AVL 树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1 ，这

样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $log_2 (N)$ 。但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操 作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，

有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数

据的个数为静态的 ( 即不会改变 ) ，可以考虑 AVL 树，但一个结构经常修改，就不太适合。

4.2 红黑树

4.2.1 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

 4.2.2 红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色

2. 根节点是黑色的 

3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的 

4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色点 

5. 每个叶子结点都是黑色的 ( 此处的叶子结点指的是空结点)

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点数的两倍？

4.2.3 红黑树节点的定义 

// 节点的颜色
enum Color { RED, BLACK };
// 红黑树节点的定义
template
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _color(color)
	{}
	RBTreeNode* _pLeft;   // 节点的左孩子
	RBTreeNode* _pRight;  // 节点的右孩子
	RBTreeNode* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给
	出该字段)
	ValueType _data;            // 节点的值域
	Color _color;               // 节点的颜色
};

思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

4.2.4 红黑树结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为跟节点必须为黑色，为了

与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点， pLeft

域指向红黑树中最小的节点， _pRight 域指向红黑树中最大的节点，如下：

4.2.5 红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

template
class RBTree
{
	//……
	bool Insert(const ValueType& data)
	{
		PNode& pRoot = GetRoot();
		if (nullptr == pRoot)
		{
			pRoot = new Node(data, BLACK);
			// 根的双亲为头节点
			pRoot->_pParent = _pHead;
			_pHead->_pParent = pRoot;
		}
		else
		{
			// 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点
						// 2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，
			//   若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理
		}
		// 根节点的颜色可能被修改，将其改回黑色
		pRoot->_color = BLACK;
		_pHead->_pLeft = LeftMost();
		_pHead->_pRight = RightMost();
		return true;
	}
private:
	PNode& GetRoot() { return _pHead->_pParent; }
	// 获取红黑树中最小节点，即最左侧节点
	PNode LeftMost();
	// 获取红黑树中最大节点，即最右侧节点
	PNode RightMost();
private:
	PNode _pHead;
}

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为 新节点的默认颜色是红色 ，因此：如果 其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何

性质 ，则不需要调整；但 当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连

在一起的红色节点 ，此时需要对红黑树分情况来讨论

：

约定 :cur 为当前节点， p 为父节点， g 为祖父节点， u 为叔叔节点

• 情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

cur 和 p 均为红，违反了性质三，此处能否将 p 直接改为黑？

解决方式：将 p,u 改为黑， g 改为红，然后把 g 当成 cur ，继续向上调整。

• 情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p 为 g 的左孩子， cur 为 p 的左孩子，则进行右单旋转；相反，

p 为 g 的右孩子， cur 为 p 的右孩子，则进行左单旋转

p 、 g 变色 --p 变黑， g 变红

• 情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑 

p 为 g 的左孩子， cur 为 p 的右孩子，则针对 p 做左单旋转；相反，

p 为 g 的右孩子， cur 为 p 的左孩子，则针对 p 做右单旋转

则转换成了情况 2

 针对每种情况进行相应的处理即可。

bool Insert(const ValueType& data) {
	// ...
	// 新节点插入后，如果其双亲节点的颜色为空色，则违反性质3：不能有连在一起的红色结
	点
		while (pParent && RED == pParent->_color)
		{
			// 注意：grandFather一定存在
			// 因为pParent存在，且不是黑色节点，则pParent一定不是根，则其一定有双亲
			PNode grandFather = pParent->_pParent;
			// 先讨论左侧情况
			if (pParent == grandFather->_pLeft)
			{
				PNode unclue = grandFather->_pRight;
				// 情况三：叔叔节点存在，且为红
				if (unclue && RED == unclue->_color)
				{
					pParent->_color = BLACK;
					unclue->_color = BLACK;
					grandFather->_color = RED;
					pCur = grandFather;
					pParent = pCur->_pParent;
				}
				else
				{
					// 情况五：叔叔节点不存在，或者叔叔节点存在且为黑
					if (pCur == pParent->_pRight)
					{
						_RotateLeft(pParent);
						swap(pParent, pCur);
					}
					// 情况五最后转化成情况四
					grandFather->_color = RED;
					pParent->_color = BLACK;
					_RotateRight(grandFather);
				}
			}
			else
			{
				// 右侧请学生们自己动手完成
			}
		}
	// ...
}

动态效果演示:

• 以升序插入构建红黑树

• 以降序插入构建红黑树

• 随机插入构建红黑树

 

 4.2.6 红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

2. 检测其是否满足红黑树的性质

bool IsValidRBTree()
{
	PNode pRoot = GetRoot();
	// 空树也是红黑树
	if (nullptr == pRoot)
		return true;
	// 检测根节点是否满足情况
	if (BLACK != pRoot->_color)
	{
		cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
		return false;
	}
	// 获取任意一条路径中黑色节点的个数
	size_t blackCount = 0;
	PNode pCur = pRoot;
	while (pCur)
	{
		if (BLACK == pCur->_color)
			blackCount++;
		pCur = pCur->_pLeft;
	}
	// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
	size_t k = 0;
	return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount) {
	//走到null之后，判断k和black是否相等
	if (nullptr == pRoot)
	{
		if (k != blackCount)
		{
			cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
	// 统计黑色节点的个数
	if (BLACK == pRoot->_color)
		k++;
	// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
	PNode pParent = pRoot->_pParent;
	if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color)
	{
		cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
		return false;
	}
	return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount) &&
		_IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
}

 4.2.7 红黑树的删除

红黑树的删除本节不做讲解，可参考：《算法导论》或者《STL源码剖析》

红黑树 - _Never_ - 博客园

 4.2.8 红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($log_2 N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

4.2.9 红黑树的应用 

1. C++ STL库 -- map/set 、mutil_map/mutil_set

2. Java 库

3. linux 内核

4. 其他一些库

4.3 红黑树模拟实现STL中的map与set  

4.3.1 红黑树的迭代器

迭代器的好处是可以方便遍历，是数据结构的底层实现与用户透明。如果想要给红黑树增加迭代 器，需要考虑以前问题：

• begin()与end()

STL明确规定，begin()与end()代表的是一段前闭后开的区间，而对红黑树进行中序遍历后，可以得到一个有序的序列，因此：begin()可以放在红黑树中最小节点(即最左侧节点)的位置，end()放在最大节点(最右侧节点)的下一个位置，关键是最大节点的下一个位置在哪块？能否给成nullptr呢？答案是行不通的，因为对end()位置的迭代器进行--操作，必须要能找最后一个元素，此处就不行，因此最好的方式是将end()放在头结点的位置：

•  operator++()与operator--()

// 找迭代器的下一个节点，下一个节点肯定比其大
void Increasement()
{
	//分两种情况讨论:_pNode的右子树存在和不存在
	// 右子树存在
	if (_pNode->_pRight)
	{
		// 右子树中最小的节点，即右子树中最左侧节点
		_pNode = _pNode->_pRight;
		while (_pNode->_pLeft)
			_pNode = _pNode->_pLeft;
	}
	else
	{
		// 右子树不存在，向上查找，直到_pNode != pParent->right
		PNode pParent = _pNode->_pParent;
		while (pParent->_pRight == _pNode)
		{
			_pNode = pParent;
			pParent = _pNode->_pParent;
		}
		// 特殊情况：根节点没有右子树
		if (_pNode->_pRight != pParent)
			_pNode = pParent;
	}
}
// 获取迭代器指向节点的前一个节点
void Decreasement()
{
	//分三种情况讨论：_pNode 在head的位置，_pNode 左子树存在，_pNode 左子树不
	存在
		// 1. _pNode 在head的位置，--应该将_pNode放在红黑树中最大节点的位置
		if (_pNode->_pParent->_pParent == _pNode && _pNode->_color == RED)
			_pNode = _pNode->_pRight;
		else if (_pNode->_pLeft)
		{
			// 2. _pNode的左子树存在,在左子树中找最大的节点，即左子树中最右侧节点
			_pNode = _pNode->_pLeft;
			while (_pNode->_pRight)
				_pNode = _pNode->_pRight;
		}
		else
		{
			// _pNode的左子树不存在，只能向上找
			PNode pParent = _pNode->_pParent;
			while (_pNode == pParent->_pLeft)
			{
				_pNode = pParent;
				pParent = _pNode->_pParent;
			}
			_pNode = pParent;
		}
}

4.3.2 改造红黑树

// 因为关联式容器中存储的是的键值对，因此
// k为key的类型，
// ValueType: 如果是map，则为pair; 如果是set，则为k
// KeyOfValue: 通过value来获取key的一个仿函数类
template
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode Node;
	typedef Node* PNode;
public:
	typedef RBTreeIterator Iterator;
public:
	RBTree();
	~RBTree()
	/
	// Iterator
	Iterator Begin() { return Iterator(_pHead->_pLeft); }
	Iterator End() { return Iterator(_pHead); }

	//
	// Modify
	pair Insert(const ValueType& data)
	{
		// 插入节点并进行调整
		// 参考上文...
		return make_pair(Iterator(pNewNode), true);
	}
	// 将红黑树中的节点清空
	void Clear();
	Iterator Find(const K& key);

	//
	// capacity
	size_t Size()const;
	bool Empty()const;
	// ……
private:
	PNode _pHead;
	size_t _size;  // 红黑树中有效节点的个数
};

4.3.3 map的模拟实现

map的底层结构就是红黑树，因此在map中直接封装一棵红黑树，然后将其接口包装下即可

namespace bite
{
	template
	class map
	{
		typedef pair ValueType;
		// 作用：将value中的key提取出来
		struct KeyOfValue
		{
			const K& operator()(const ValueType& v)
			{
				return v.first;
			}
		};
		typedef RBTree RBTree;
	public:
		typedef typename RBTree::Iterator iterator;
	public:
		map() {}
		/
		// Iterator
		iterator begin() { return _t.Begin(); }
		iterator end() { return _t.End(); }
		/
		// Capacity
		size_t size()const { return _t.Size(); }
		bool empty()const { return _t.Empty(); }
		/
        // Acess
		V& operator[](const K& key)
		{
			return (*(_t.Insert(ValueType(key, V()))).first).second;
		}
		const V& operator[](const K& key)const;
		
		// modify
		pair insert(const ValueType& data) {
			return
				_t.Insert(data);
		}
		void clear() { _t.Clear(); }
		iterator find(const K& key) { return _t.Find(key); }
	private:
		RBTree _t;
	};
}

4.3.4 set的模拟实现

set的底层为红黑树，因此只需在set内部封装一棵红黑树，即可将该容器实现出来(具体实现可参考map)。

namespace bit
{
	template
	class set
	{
		typedef K ValueType;
		// 作用是：将value中的key提取出来
		struct KeyOfValue
		{
			const K& operator()(const ValueType& key)
			{
				return key;
			}
		};
		// 红黑树类型重命名
		typedef RBTree RBTree;
	public:
		typedef typename RBTree::Iterator iterator;
	public:
		Set() {}
		/
		// Iterator
		iterator Begin();
		iterator End();
		/
		// Capacity
		size_t size()const;
		bool empty()const;
		
		// modify
		pair insert(const ValueType& data)
		{
			return _t.Insert(data);
		}
		void clear();
		iterator find(const K& key);
	private:
		RBTree _t;
	};
}