机器人逆动力学（Robot Inverse Dynamics）

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        逆动力学问题是指：已知某一时刻机器人各关节的位置 ，关节速度及关节加速度，求此时施加在机器人各杆件上的驱动力（力矩）。

        逆动力学问题在机器人控制与计算机动画领域都有广泛的应用。例如当给出期望的机器人运动状态时，我们可以通过逆动力学解算来分析其力矩是否可以由作动系统实现。在计算机动画领域，可以利用优化算法求解力矩消耗最小的动画过程（如文献[1]）来得到一个自然的动画。另外，逆动力学也常作为正动力学的一个子部分来求解正动力学（正动力学指已知力和力矩，求系统状态）。

        逆动力学可以利用牛顿欧拉(Newton-Euler)方程来求解，也可以利用拉格朗日(Lagrange)方程来求解（二者的等价性与区别读者可以参看文献[2]中的2.3节）。本文旨在讲解如何基于牛顿欧拉(Newton-Euler)方程来求解机器人逆动力学，其算法被称为“迭代牛顿欧拉算法(Recursive Newton-Euler Algorithm)”。

1. 预备知识

        在介绍“迭代牛顿欧拉算法(Recursive Newton-Euler Algorithm)”之前，让我们先看一下什么是牛顿欧拉方程：

        其中表示线加速度，表示角加速度（角速度的导数），等式左边的求和符号表示公式中应该使用合力与合力矩。关于如何得出牛顿欧拉方程，请参看我的前一篇文章：《刚体动力学》http://www.cnblogs.com/ArenAK/archive/2010/06/07/1753427.html。

2. 迭代牛顿欧拉算法

        下面我们说明什么是“迭代牛顿欧拉算法(Recursive Newton-Euler Algorithm)”，即它如何从系统状态求解出力矩，之后在下一节本文将说明为什么要进行“迭代”计算，从而导出此算法的复杂度。

        迭代牛顿欧拉算法包含两个迭代过程：

        （1）第一个迭代过程由机器人运动系统的根节点开始，逐步向各个叶子节点进行迭代。在此迭代过程中各个杆件的运动速度（线速度、角速度）、运动加速度（线加速度、角加速度）被依次求出，从父节点向子节点迭代的直观原因是父节点会带动子节点运动，因此子节点的速度/加速度要在父节点的速度/加速度求出后迭代求出：

        其中速度（线速度、角速度）和加速度（线加速度、角加速度）都表示在杆件的局部坐标系中；
        线速度和线加速度为杆件局部坐标系原点的运动速度（表示在局部坐标系中）；
        为杆件的运动轴（平移轴或旋转轴）在坐标系中的方向；
        ，为测量得到的杆件旋转的速度和加速度数值（是标量）；
        为由坐标系到坐标系的旋转矩阵；
        为坐标系的原点在坐标系中的位置。

        同时由于各个杆件所受的合力、合力矩只与加速度有关，因此在此迭代过程中各杆件所受的合力、合力矩也可以被求出：

        其中、分别为杆件的质心所受到合力、合力矩。
        为杆件的质量，为杆件的质心在坐标系中的坐标，为坐标系中以质心为参考点杆件的惯量阵。

        （2）第二个迭代过程的方向由叶子节点开始，逐步向根节点进行迭代，目的是求出各个杆件之间的相互作用力。每个杆件受到的力（力矩）包括父杆件作用于本杆件的力（力矩），子杆件作用于本杆件的力（力矩），以及重力。对于最末端的叶子杆件，不存在子杆件的作用力（即下式中，），因此可以从子杆件开始算起，逐步推导出各个杆件之间的相互作用力（力矩）。

         其中、分别为杆件经由关节而受到的力、力矩。

         最后可求出杆件在某个轴向上所受到的力矩的大小（标量）：

3. 迭代计算的优越性

        现在我们已经知道了如何利用迭代牛顿欧拉算法进行计算，我们再来看看为何要进行“迭代”计算。实际上，不进行迭代也可以计算出结果，然而不进行迭代将会存在过多的冗余计算，大大影响计算效率。我们将以速度的计算为例来说明，为了叙述简单，我们设各个关节只有一个自由度，各个速度量表示在一个公共坐标系（而不是各个杆件的局部坐标系）下。因此利用递归方法杆件的速度表达式为：

        设根节点处的速度为。非递归方法杆件的速度表达式为：

        设代表一个标量与向量相乘的计算代价，代表两个向量进行相加的计算代价。那么调用一次递归式的计算代价为，调用一次非递归式的计算代价为，则利用递归式计算机器人前个杆件的计算代价为，而利用非递归式进行相应计算的代价为。因此，利用递归计算式获得了复杂度为的高效率计算，而利用非递归计算式则获得复杂度为的低效率计算。

非递归式计算效率低的原因在于进行了过多的冗余计算：

        可见这一项被重复计算了次，被计算了次，等等。递归算法避免了此类冗余计算，因而获得了高效率。

        当公式越复杂时，递归与非递归获得的效率差别更大。例如利用递归来计算加速度，则复杂度由降为，而力矩的计算则更是从复杂度降为。因此迭代牛顿欧拉算法实现了复杂度为的逆动力学计算。

 

        说明：本文3、4节内容大多参考了文献[3]。

 

[1] C. Rose, et al., "Efficient generation of motion transitions using spacetime constraints," presented at the Proceedings of the 23rd annual conference on Computer graphics and interactive techniques, 1996.

[2] 霍伟, 机器人动力学与控制: 高等教育出版社, 2005.

[3] R. Featherstone, Rigid Body Dynamics Algorithms: Springer-Verlag New York, Inc., 2007.