AI笔记: 数学基础之向量组的线性表示与线性相关

向量组

• 向量组：有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组A
  • 如果是行向量，那么表示为：$A=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ ⋮\\ a_n\\ ⋮\end{array}\right)$
  • 如果是列向量，那么表示为：$A=(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n,\cdots )$
• 向量组是由多个向量构成，可以表示为矩阵

正交向量

• 当$||x||=1$时，称x为单位向量，这里$||x||$特指向量x的模
• 当$||x||\ne 0,||y||\ne 0$时，$\theta =arccos\frac{x\cdot y}{||x||\cdot ||y||}$ 称为n维向量x与y的夹角
  • 当$x\cdot y=0$时，称向量x与y正交
  • 若$x=0$,则显然x与任何向量都正交

向量的线性表示

• 对于向量组：$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$， 表达式 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_n{\alpha }_n(k_i\in R)$ 称为向量组A的一个线性组合
• 又如果$\beta$是向量组A的一个线性组合，即存在数${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$, 使得 $\beta ={\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+...+{\lambda }_n{\alpha }_n$, 则称向量 $\beta$ 可由向量组A线性表示
  • 通常写成 $\beta =[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right]$
  • 向量$\beta$ 可由向量组 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ 线性表示
    • $\iff$ (按定义) 存在数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$ 使 ${\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+...+{\lambda }_n{\alpha }_n=\beta$
    • $\iff$ (转换为方程组) 方程组 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+...+x_n{\alpha }_n=\beta$ 即：$Ax=\beta (A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n])$ 有解
• 如果向量组$B:{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_q$中的每个向量都可由向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ 线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示
  • 设B由A表示如下：
  • $\{\begin{array}{c}{\beta }_1=c_{11}{\alpha }_1+c_{21}{\alpha }_2+\cdots +c_{p1}{\alpha }_p\\ {\beta }_2=c_{12}{\alpha }_1+c_{22}{\alpha }_2+\cdots +c_{p2}{\alpha }_p\\ \cdots \\ {\beta }_q=c_{1q}{\alpha }_1+c_{2q}{\alpha }_2+\cdots +c_{pq}{\alpha }_p\end{array}$
  • 一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系
  • 改写为矩阵
    • $[{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_q]=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_p]{\left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1q}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{1q}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{p1}& c_{p2}& ...& c_{pq}\end{array}\right]}_{p\times q}$
    • 即：B = A × C系数矩阵
  • 转换为矩阵方程 $AX=B$ 有解
• 如果向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_p$ 与向量组 $B:{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3...,{\beta }_q$ 可以相互表示，则称这两个向量组等价
  • 关于向量组的等价关系：
    • 如果 $A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_m\end{array}\right)\stackrel{\text{行变换}}{\to }B=\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ ⋮\\ {\beta }_m\end{array}\right)$
    • 则称A与B行等价.
    • 同理可定义列等价.
• 设向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$, 如果其中一个向量可由其余的向量线性表示，则称该向量组线性相关，否则，如果任意向量都不能由其余向量线性表示，则称该向量组线性无关(或独立)
  • 如何用数学数字表达？
    • 如果存在不全为零的数$k_1,k_2,...,k_m$
    • $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m=0$
    • 则称该向量组线性相关.
    • 否则，如果设 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m=0$
    • 只能推出 $k_1=k_2=...=k_m=0$ 则称该向量组线性无关
• 线性相关与线性无关统称为向量组的线性相关性
• 向量组的线性相关性与线性表示有何关系？
  • 向量组线性相关的充要条件是：向量组中至少存在一个向量是其余向量的线性组合
  • 同理, 可回答线性无关与线性表示的关系
• 定理：向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ 线性相关的充要条件是矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)$的秩小于向量个数n，向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ 线性无关 $\iff r(A)=n$ (满秩)

例1

• ${\alpha }_1=(1-23{)}^T,{\alpha }_2=(210{)}^T,{\alpha }_3=(1-79{)}^T$ 问这组向量是否线性相关?
• 分析
  • $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& 1& -7\\ 3& 0& 9\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 5& -5\\ 0& -6& 6\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
  • 因为 $r(A)=2<3$
  • 所以线性相关

例2

• ${\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\alpha }_3=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right]$, 问向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$的线性相关性?
• 分析
  • $[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 1& 4\\ 1& 1& 5\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
  • $r([{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3])=3$, $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$ 线性无关