AI笔记: 数学基础之向量组的线性表示与线性相关
向量组
- 向量组：有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组A
- 如果是行向量，那么表示为： A = ( a 1 ⃗ a 2 ⃗ a 3 ⃗ ⋮ a n ⃗ ⋮ ) A = \left (\begin{array}{cccc}\vec{a_1} \\\vec{a_2} \\\vec{a_3} \\ \vdots \\\vec{a_n} \\ \vdots \\\end{array} \right ) A=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a1a2a3⋮an⋮⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
- 如果是列向量，那么表示为： A = ( a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , ⋯ , a n ⃗ , ⋯ ) A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \cdots, \vec{a_n}, \cdots) A=(a1,a2,a3,⋯,an,⋯)
- 向量组是由多个向量构成，可以表示为矩阵
正交向量
- 当 ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ||x|| = 1 ∣∣x∣∣=1时，称x为单位向量，这里 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||x|| ∣∣x∣∣特指向量x的模
- 当 ∣ ∣ x ∣ ∣ ≠ 0 , ∣ ∣ y ∣ ∣ ≠ 0 ||x|| \neq 0, ||y|| \neq 0 ∣∣x∣∣=0,∣∣y∣∣=0时， θ = a r c c o s x ⋅ y ∣ ∣ x ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ y ∣ ∣ \theta = arccos \frac{x · y}{||x|| · ||y||} θ=arccos∣∣x∣∣⋅∣∣y∣∣x⋅y 称为n维向量x与y的夹角
- 当 x ⋅ y = 0 x · y = 0 x⋅y=0时，称向量x与y正交
- 若 x = 0 x=0 x=0,则显然x与任何向量都正交
向量的线性表示
- 对于向量组： A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn， 表达式 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n ( k i ∈ R ) k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n \alpha_n \ \ \ (k_i \in R) k1α1+k2α2+...+knαn (ki∈R) 称为向量组A的一个线性组合
- 又如果 β \beta β是向量组A的一个线性组合，即存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn, 使得 β = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n \beta = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n β=λ1α1+λ2α2+...+λnαn, 则称向量 β \beta β 可由向量组A线性表示
- 通常写成 β = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] [ λ 1 λ 2 ⋮ λ n ] \beta = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]\left [\begin{array}{cccc}\lambda_1 \\\lambda_2 \\ \vdots \\\lambda_n\end{array} \right ] β=[α1,α2,⋯,αn]⎣⎢⎢⎢⎡λ1λ2⋮λn⎦⎥⎥⎥⎤
- 向量 β \beta β 可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示
- ⇔ \Leftrightarrow ⇔ (按定义) 存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn 使 λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n = β \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n = \beta λ1α1+λ2α2+...+λnαn=β
- ⇔ \Leftrightarrow ⇔ (转换为方程组) 方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n = β x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + ... + x_n \alpha_n = \beta x1α1+x2α2+...+xnαn=β 即： A x = β ( A = [ α 1 , α 2 , . . . , α n ] ) Ax = \beta (A = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]) Ax=β(A=[α1,α2,...,αn]) 有解
- 如果向量组 B : β 1 , β 2 , . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, ..., \beta_q B:β1,β2,...,βq中的每个向量都可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示
- 设B由A表示如下：
- { β 1 = c 11 α 1 + c 21 α 2 + ⋯ + c p 1 α p β 2 = c 12 α 1 + c 22 α 2 + ⋯ + c p 2 α p ⋯ β q = c 1 q α 1 + c 2 q α 2 + ⋯ + c p q α p \left \{\begin{array}{cccc}\beta_1 = c_{11}\alpha_1 + c_{21}\alpha_2 + \cdots + c_{p1}\alpha_p \\ \beta_2 = c_{12}\alpha_1 + c_{22}\alpha_2 + \cdots + c_{p2}\alpha_p \\ \cdots \\ \beta_q = c_{1q}\alpha_1 + c_{2q}\alpha_2 + \cdots + c_{pq}\alpha_p \\ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧β1=c11α1+c21α2+⋯+cp1αpβ2=c12α1+c22α2+⋯+cp2αp⋯βq=c1qα1+c2qα2+⋯+cpqαp
- 一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系
- 改写为矩阵
- [ β 1 , β 2 , ⋯ , β q ] = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α p ] [ c 11 c 12 ⋯ c 1 q c 21 c 22 ⋯ c 1 q ⋮ ⋮ ⋮ c p 1 c p 2 . . . c p q ] p × q [\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_q] = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p]\left [\begin{array}{cccc}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{1q} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\c_{p1} & c_{p2} & ... & c_{pq}\end{array} \right ]_{p×q} [β1,β2,⋯,βq]=[α1,α2,⋯,αp]⎣⎢⎢⎢⎡c11c21⋮cp1c12c22⋮cp2⋯⋯...c1qc1q⋮cpq⎦⎥⎥⎥⎤p×q
- 即：B = A × C系数矩阵
- 转换为矩阵方程 A X = B AX = B AX=B 有解
- 如果向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α p A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_p A:α1,α2,...,αp 与向量组 B : β 1 , β 2 , β 3 . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, \beta_3 ..., \beta_q B:β1,β2,β3...,βq 可以相互表示，则称这两个向量组等价
- 关于向量组的等价关系：
- 如果 A = ( α 1 α 2 ⋮ α m ) → 行变换 B = ( β 1 β 2 ⋮ β m ) A =\left (\begin{array}{cccc}\alpha_1 \\\alpha_2 \\ \vdots \\\alpha_m\end{array} \right ) \overset{\text{行变换}}{\to} B =\left (\begin{array}{cccc}\beta_1 \\\beta_2 \\ \vdots \\\beta_m\end{array} \right ) A=⎝⎜⎜⎜⎛α1α2⋮αm⎠⎟⎟⎟⎞→行变换B=⎝⎜⎜⎜⎛β1β2⋮βm⎠⎟⎟⎟⎞
- 则称A与B行等价.
- 同理可定义列等价.
- 关于向量组的等价关系：
- 设向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α m A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m A:α1,α2,...,αm, 如果其中一个向量可由其余的向量线性表示，则称该向量组线性相关，否则，如果任意向量都不能由其余向量线性表示，则称该向量组线性无关(或独立)
- 如何用数学数字表达？
- 如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1, k_2, ..., k_m k1,k2,...,km
- k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
- 则称该向量组线性相关.
- 否则，如果设 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
- 只能推出 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1 = k_2 = ... = k_m = 0 k1=k2=...=km=0 则称该向量组线性无关
- 如何用数学数字表达？
- 线性相关与线性无关统称为向量组的线性相关性
- 向量组的线性相关性与线性表示有何关系？
- 向量组线性相关的充要条件是：向量组中至少存在一个向量是其余向量的线性组合
- 同理, 可回答线性无关与线性表示的关系
- 定理：向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性相关的充要条件是矩阵 A = ( α 1 , α 2 , . . . , α n ) A=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n) A=(α1,α2,...,αn)的秩小于向量个数n，向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n α1,α2,...,αn 线性无关 ⇔ r ( A ) = n \Leftrightarrow r(A) = n ⇔r(A)=n (满秩)
例1
- α 1 = ( 1 − 23 ) T , α 2 = ( 210 ) T , α 3 = ( 1 − 79 ) T \alpha_1 = (1 -2 3)^T, \alpha_2 = (2 1 0)^T, \alpha_3 = (1 -7 9)^T α1=(1−23)T,α2=(210)T,α3=(1−79)T 问这组向量是否线性相关?
- 分析
- A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( 1 2 1 − 2 1 − 7 3 0 9 ) → ( 1 2 1 0 5 − 5 0 − 6 6 ) → ( 1 2 1 0 1 − 1 0 0 0 ) A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\-2 & 1 & -7 \\3 & 0 & 9\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 5 & -5 \\0 & -6 & 6\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{array} \right ) A=(α1,α2,α3)=⎝⎛1−232101−79⎠⎞→⎝⎛10025−61−56⎠⎞→⎝⎛1002101−10⎠⎞
- 因为 r ( A ) = 2 < 3 r(A) = 2 < 3 r(A)=2<3
- 所以线性相关
例2
- α 1 = [ 1 1 1 ] , α 2 = [ 0 1 1 ] , α 3 = [ 2 4 5 ] \alpha_1 = \left [\begin{array}{cccc}1 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_2 = \left [\begin{array}{cccc}0 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_3 = \left [\begin{array}{cccc}2 \\4 \\5 \\\end{array} \right ] α1=⎣⎡111⎦⎤,α2=⎣⎡011⎦⎤,α3=⎣⎡245⎦⎤, 问向量组 { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3}的线性相关性?
- 分析
- [ α 1 , α 2 , α 3 ] = [ 1 0 2 1 1 4 1 1 5 ] → [ 1 0 2 0 1 2 0 0 1 ] [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] = \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\1 & 1 & 4 \\1 & 1 & 5 \end{array} \right ] \to \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{array} \right ] [α1,α2,α3]=⎣⎡111011245⎦⎤→⎣⎡100010221⎦⎤
- r ( [ α 1 , α 2 , α 3 ] ) = 3 r([\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]) = 3 r([α1,α2,α3])=3, { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3} 线性无关