【矩阵论】08——线性变换——不变子空间

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本系列文章使用的教材为《矩阵论》（第二版），杨明，刘先忠编，华中科技大学出版社。

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为什么引入不变子空间概念

为了分析线性变换的矩阵化简与空间分解之间的联系。

 

不变子空间定义

 

总结：

• 在Vn(F)中的一个子空间，在子空间中的线性变换的值域在这个子空间中。

 

不变子空间的充要条件

 也就是说，

• 对于由{α1,α2,...αn}生成的子空间W，W是T的不变子空间可以推出:{α1,α2,...αn}由T作用后的值生成的空间仍然属于W。

• 反过来，如果{α1,α2,...αn}由T作用后的值生成的空间仍然属于W,则W是T的不变自空间。

• 简单的理解就是，生成W空间的原像经过T线性变换后的像还在同一个W中，这就体现了不变性。

 

直和补子空间

 

我的理解是：Vn(F)这个线性空间可以分解为两个子空间，这两个子空间分别由两组基{αi}，{βi}生成。那么{αi，βi}一起就是Vn(F)的基了。对与这两个子空间W和U，若W是不变子空间，那么经过线性变换后的值只会是在W中，而不会在U中。这样就有：

在前面的线性变换的矩阵那一篇中，特定基下的线性变换可以用基和对应的矩阵表示。在上面这个式子中，A1是W上的线性变换在基{αi}下的矩阵。细心的同学可以发现，在分块矩阵中第一列只有A1，这就是因为W是不变子空间。思想就是要将Vn分解为两个子空间，已经知道了W是不变子空间，另一个U不一定是不变子空间，所以第二列的第一个矩阵A2不为零，也就是说U中的基经过T变换后的值不一定在U中，会在W中，更笼统地说，U的基经过作用后的值域是属于整个V的，因此就要用V的基去表示，只不过这列用两组基和坐标的分块矩阵进行表示。

如果U也为不变子空间的话，就有A2也为0.

线性变换的矩阵分解为准对角形是与空间分解为不变子空间的直和问题是相对应的。

总结：

对于V可分解为s个不变子空间Wi，每一个子空间Wi的基在T变换都有一个矩阵Ai,用这些子空间的基构成V的基，则T在这组基下的矩阵为对角阵。

总结：

如果V的基下T的矩阵为准对角阵，将其分组为s个基，Wi就是T的不变子空间。注意s个基中元素的个数与矩阵A的阶数是对应的。