【cdq分治】MooFest G 加强版

洛谷p5094

cdq分治思想（二维偏序）

将其中一维排序后，分离条件的相关性。将左半边的子问题用于解决右半边的子问题。
左半边和右半边靠递归完成，专注于处理跨越部分。
[l,r]工作完成后，可以根据需要选择将其按第二关键字（或任意顺序）排序，而不影响后续。

方法一：按x作为第一关键字排序

for j=mid+1 to r 枚举[l,j]的贡献和
由归并排序特点，[l,mid]和[mid+1,r]两个区间内已经按照第二关键字s排好序。寻找xj和x>x_j的分界点，最后一个xj的点记为x_i。
贡献和为$$v_j(\sum _{k=l}^i(x_j-x_k)+\sum _{k=i+1}^{mid}(x_k-x_j))=v_j((i-l+1)x_j-sumx[l,i]+sumx[i+1,mid]-(mid-i)x_j)$$
前缀和预处理，查询复杂度O（1）。
贡献加完后，对第二关键字归并排序。

#include
using namespace std;
#define int long long
struct node{
	int x,v;
}a[50005];
bool cmp(node aa,node bb){
	return aa.v<bb.v;//按v从小到大排序 
}
int ans=0,sum[50005];
void merge(int l,int r){
	int mid=(l+r)/2;
	sum[l-1]=0;
	for(int i=l;i<=r;i++){
		sum[i]=sum[i-1]+a[i].x;
	}
	for(int j=mid+1;j<=r;j++){
		int ii=l-1;//i:寻找x
		while(ii<mid&&a[ii+1].x<a[j].x){
			ii++;
		}
		ans+=a[j].v*((ii-l+1)*a[j].x-(sum[ii]-sum[l-1])+(sum[mid]-sum[ii])-(mid-ii)*a[j].x);
	}
	//中间跨越部分处理完成后，即可对合并的整体按第二关键字x排序，不影响后续结果。 
	node aux[r-l+1];
	for(int i=l;i<=r;i++){
		aux[i-l]=a[i];
	}
	int i1=l,i2=mid+1;
	for(int i=l;i<=r;i++){
		if(i1>mid){
			a[i]=aux[i2-l];
			i2++;
		}else if(i2>r){
			a[i]=aux[i1-l];
			i1++;
		}else if(aux[i1-l].x>=aux[i2-l].x){
			a[i]=aux[i2-l];
			i2++;
		}else{
			a[i]=aux[i1-l];
			i1++;
		}
	}
}
void mergesort(int l,int r){
	if(l>=r) return;
	int mid=(l+r)/2;
	mergesort(l,mid);
	mergesort(mid+1,r);
	merge(l,r);
}
signed main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>a[i].v>>a[i].x;
	}
	sort(a,a+n,cmp);
	mergesort(0,n-1);
	cout<<ans;
}

方法二：按v作为第一关键字排序

与上同理，给出和式推导过程：
$$\sum _{k=l}^i{v}_j(x_j-x_k)+\sum _{k=i+1}^{mid}{v}_k(x_j-x_k)=v_j[(i-l+1)x_j-sumx[l,i]]+x_{j}sumv[i+1,mid]-sumxv[i+1,mid]$$

#include
using namespace std;
#define int long long
struct node{
	int x,v;
}a[50005];
bool cmp(node aa,node bb){
	return aa.x<bb.x;//按x从小到大排序 
}
int ans=0,sum_x[50005],sum_v[50005],sum_xv[50005];
void merge(int l,int r){
	int mid=(l+r)/2;
	sum_x[l-1]=0,sum_v[l-1]=0,sum_xv[l-1]=0;
	for(int i=l;i<=r;i++){
		sum_x[i]=sum_x[i-1]+a[i].x;
		sum_v[i]=sum_v[i-1]+a[i].v;
		sum_xv[i]=sum_xv[i-1]+a[i].v*a[i].x;
	}
	for(int j=mid+1;j<=r;j++){
		int ii=l-1;//i:寻找v
		while(ii<mid&&a[ii+1].v<a[j].v){
			ii++;
		}
		ans+=a[j].v*((ii-l+1)*a[j].x-(sum_x[ii]-sum_x[l-1]))+a[j].x*(sum_v[mid]-sum_v[ii])-(sum_xv[mid]-sum_xv[ii]);
	} 
	//中间跨越部分处理完成后，即可对合并的整体按第二关键字v排序，不影响后续结果。 
	node aux[r-l+1];
	for(int i=l;i<=r;i++){
		aux[i-l]=a[i];
	}
	int i1=l,i2=mid+1;
	for(int i=l;i<=r;i++){
		if(i1>mid){
			a[i]=aux[i2-l];
			i2++;
		}else if(i2>r){
			a[i]=aux[i1-l];
			i1++;
		}else if(aux[i1-l].v>=aux[i2-l].v){
			a[i]=aux[i2-l];
			i2++;
		}else{
			a[i]=aux[i1-l];
			i1++;
		}
	}
}
void mergesort(int l,int r){
	if(l>=r) return;
	int mid=(l+r)/2;
	mergesort(l,mid);
	mergesort(mid+1,r);
	merge(l,r);
}
signed main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>a[i].v>>a[i].x;
	}
	sort(a,a+n,cmp);
	mergesort(0,n-1);
	cout<<ans;
}