【复变函数与积分变换】02. 解析函数

2 解析函数

2.1 复变函数

复变函数的定义：

设 $D$ 是复平面中的一个点集，对于 $D$ 中的每一个 $z$ ，按照一定的规律，有一个或多个 $w$ 的值与之对应，则称 $w$ 为定义在 $D$ 上的复变函数，记作：$w=f(z)$ 。

代数形式：
$$w=f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$$
指数形式：
$$w=u(r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta ,r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )+iv(r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta ,r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )=P(r,\theta )+iQ(r,\theta )$$
极限的定义：

设函数 $w=f(z)$ 定义在 $z_0$ 的去心邻域 $D=\{z;0<|z-z_0|<\rho \}$ 内。如过存在一确定的数 $A$ ，对于任意的 $ϵ>0$ ，存在正数 $\delta (ϵ)\in (0,\rho ]$ ，使得当 $0<|z-z_0|<\delta$ 时，
$$|f(z)-A|<ϵ$$
则称 $A$ 为 $f(z)$ 当 $z$ 趋向于 $z_0$ 时的极限，记作
$$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A$$

• 极限的几何意义：当 $z\to z_0$ 时极限的存在性，要求 $z$ 在 $z_0$ 的 $\delta$ 去心邻域中沿任何路径趋近于 $z_0$ ，$f(z)$ 均以 $A$ 为极限。

连续的定义：

设函数 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 中由定义，$z_0\in D$ ，若 $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=f(z_0)$ ，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处连续，则 $f(z)$ 在 $D$ 内连续。

• 函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z_0=x_0+i{y}_0$ 处连续的充要条件是 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续。

定理：当 $f(z)$ 在有界闭区域 $\overline{D}$ 上连续时，它的模 $|f(z)|$ 在 $\overline{D}$ 上也连续、有界且可以取到最大值与最小值。即存在常数 $M>0$ ，使 $|f(z)|\le M(z\in \overline{D})$ 。

• 注意：如果把条件 $f(z)$ 在闭区域 $\overline{D}$ 上的连续改为在 $D$ 内的连续时，则 $|f(z)|$ 不一定有界。

• 反例：$f(z)=\frac{1}{z-1}$ 在单位圆内连续但无界。

• 有界闭区域 $D$ 上的连续函数必一致连续。

2.2 解析函数

导数的定义：

设区域 $D$ 是函数 $w=f(z)$ 的定义域， $z_0\in D$ ， $z_0+\Delta z\in D$ 。若如下极限存在，
$$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta w}{\Delta z}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$
则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 点可导（可微），这个极限称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 点的导数 $f^{\prime }(z_0)$，它是一个复数。

• 可导 $⟹$ 连续，反之不然。
• 如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内可导。

解析函数的定义：

如果函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的某个邻域内的每一点可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 点解析（正则）。

• $z_0$ 称为解析点；不解析的点称为奇点。

• 函数 $f(z)$ 在一点解析 $⟹$ 函数 $f(z)$ 在该点可导，反之不一定成立。

如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点解析，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。

• 由于 $D$ 是开集，所以 $f(z)$ 在 $D$ 内解析 $⟺$ $f(z)$ 在 $D$ 内处处可导。

• 在整个复平面 $\mathbb{C}$ 上解析的函数称为整函数。

解析函数的性质：

(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数。

(2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数。

• 解析函数的求导链式法则：设 $\xi =g(z)$ 在区域 $D$ 内解析， $w=f(\xi )$ 在区域 $G$ 内解析，且 $g(D)\subseteq G$ ，则 $w=f[g(z)]$ 确定了一个 $D$ 上的解析函数，且

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}f[g(z)]=f^{\prime }[g(z)]\cdot g^{\prime }(z)$$

(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。

2.3 解析函数的充分必要条件

定理 1：函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在其定义域 $D$ 内解析的充分必要条件是 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在区域 $D$ 内可微，且满足 Cauchy-Riemann 方程，或称之为 C-R 条件：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$$
此时，
$$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$$
定理 2：函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在其定义域 $D$ 内一点 $(x,y)$ 处解析的充分必要条件是：

• 偏导数 $u_x,u_y,v_x,v_y$ 在点 $(x,y)$ 处存在；
• $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处满足 C-R 条件。

推论：解析函数退化为常数的几个充分条件：

• 函数在区域内解析且导数恒为零；
• 解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一恒为常数；
• 解析函数的共轭在区域内解析。

2.4 解析函数与调和函数的关系

如果函数 $f(z)=u+iv$ 在区域 $D$ 内解析，则它的实部 $u$ 和虚部 $v$ 在 $D$ 内任意一点 $(x,y)$ 处一定是任意阶可微的，且 $u$ 和 $v$ 满足 C-R 条件。若将 C-R 方程的第一式两边对 $x$ 求偏导数，第二式两边对 $y$ 求偏导数，则有
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y\partial x},\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y}=-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$$
由于
$$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y}$$
所以
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$
同理可得
$$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0$$
在实分析中，若二元函数 $U(x,y)$ 在平面区域 $D$ 中具有二阶连续偏导数且满足方程
$$\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}=0$$
则称 $U(x,y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数。该方程被称为调和方程或拉普拉斯方程，简记为
$$\Delta U=U_{xx}+U_{yy}=0$$
若 $u$ 与 $v$ 是区域 $D$ 内的调和函数且满足 C-R 条件，则称 $\mathbf{v}$ 为 $\mathbf{u}$ 的共轭调和函数。

注意：不是“互为”共轭调和函数。

定理 1：$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 是区域 $D$ 内的解析函数 $⟹$ $u$ 和 $v$ 是区域 $D$ 内的调和函数，反之不一定成立。

• 反例：$f(z)=z^2=x^2-y^2+2xyi$ 是解析函数，但 $f(z)=2xy+i(x^2+y^2)$ 并不解析。

定理 2：$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 是区域 $D$ 内的解析函数 $⟺$ $v$ 为 $u$ 的共轭调和函数。

根据以上定理，如果已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。

2.5 初等解析函数

(1) 指数函数

定义：
$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$$

$$|e^z|=e^x,\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}{e}^z=y+2k\pi$$

性质：

• $e^z$ 定义在全平面上，且 $e^z\ne 0$
• $e^z$ 在全平面上解析，且 $(e^z{)}^{\prime }=e^z$
• $e^z\cdot e^w=e^{z+w}$ 对任意的 $z,w\in \mathbb{C}$ 成立
• $e^z$ 是周期函数，周期 $T=2n\pi i$ （ $n$ 为整数， $n\ne 0$ ），基本周期为 $2\pi i$ 。

(2) 三角函数

定义：
$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$

性质：

• 欧拉公式：

$$e^{iz}=\cos z+i\sin z$$

• 全平面解析，且有

$$(\sin z{)}^{\prime }=\cos z,(\cos z{)}^{\prime }=-\sin z$$

• 除半角公式外，其余各种三角恒等式仍然成立。

• $\sin z$ 为奇函数， $\cos z$ 为偶函数。

• $\sin z,\cos z$ 是以 $2\pi$ 为周期的周期函数。

• $|\sin z|,|\cos z|$ 不是有界函数，模可以大于 $1$ 以至任意大。

(3) 双曲函数

定义：
$$\mathrm{s}\mathrm{h}z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}$$

$$\mathrm{c}\mathrm{h}z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}$$

双曲函数恒等式：
$${\mathrm{c}\mathrm{h}}^{2}z-{\mathrm{s}\mathrm{h}}^{2}z=1$$

$$\mathrm{s}\mathrm{h}z+\mathrm{c}\mathrm{h}z=e^z$$

$$\mathrm{s}\mathrm{h}(z_1+z_2)=\mathrm{s}\mathrm{h}{z}_1\mathrm{c}\mathrm{h}{z}_2+\mathrm{c}\mathrm{h}{z}_1\mathrm{s}\mathrm{h}{z}_2$$

$$\mathrm{c}\mathrm{h}(z_1+z_2)=\mathrm{c}\mathrm{h}{z}_1\mathrm{c}\mathrm{h}{z}_2+\mathrm{s}\mathrm{h}{z}_1\mathrm{s}\mathrm{h}{z}_2$$

三角函数与双曲函数之间：
$$\cos (iz)=\mathrm{c}\mathrm{h}z,\sin (iz)=i\mathrm{s}\mathrm{h}z$$

$$\mathrm{c}\mathrm{h}(iz)=\cos z,\mathrm{s}\mathrm{h}(iz)=i\sin z$$

性质：

• 全平面解析，且有

$$(\mathrm{s}\mathrm{h}z{)}^{\prime }=\mathrm{c}\mathrm{h}z,(\mathrm{c}\mathrm{h}z{)}^{\prime }=\mathrm{s}\mathrm{h}z$$

• $\mathrm{s}\mathrm{h}z$ 为奇函数， $\mathrm{c}\mathrm{h}z$ 为偶函数。

• $\mathrm{s}\mathrm{h}z,\mathrm{c}\mathrm{h}z$ 是以 $2\pi i$ 为周期的周期函数。

(4) 对数函数

对于复指数函数，其定义域为 $\mathbb{C}$ ，值域为 $\mathbb{C}\backslash \{0\}$ 。由于复指数函数是周期函数，不存在单值反函数，所以无法定义单值对数函数，因此我们需要将对数函数限制在 $\mathbb{C}$ 的某些子集上。

定义：

满足方程 $e^w=z(z\ne 0)$ 的函数 $w=f(z)$ 称为 $z$ 的对数函数，记
$$w=\mathrm{L}\mathrm{n}z(z\ne 0)$$
设 $w=u+iv$ ， $z=r{e}^{i\theta }$ ，则有 $e^{u+iv}=e^u{e}^{iv}=r{e}^{i\theta }$

从而
$$\{\begin{array}{l}{e}^u=r⟹u=\ln r=\ln |z|\\ v=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}z=\theta +2k\pi \end{array}$$
所以
$$w=\mathrm{L}\mathrm{n}z=\ln |z|+i\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}z=\ln |z|+i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z+2k\pi )$$
由于 $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}z$ 是多值函数，所以 $\mathrm{L}\mathrm{n}z$ 是多值函数，需要进行单值化处理。
$$\ln z=\ln |z|+i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z$$

$$\mathrm{L}\mathrm{n}z=\ln z+i2k\pi$$

$\ln z$ 是复平面上 $\mathbb{C}\backslash \{0\}$ 到带域 $\left\{u+iv|u\in \mathbb{R},-\pi <v<\pi \right\}$ 的映射，将 $\ln z$ 称为对数函数的主值支 。

性质：

• $\mathrm{L}\mathrm{n}z$ 的定义域为 $\{z:0<|z|<+\infty \}$ 。
• $\mathrm{L}\mathrm{n}z$ 为无穷多值函数，每两个值相差 $2\pi i$ 的整数倍。
• 除去原点与负实轴， $\ln z$ 在复平面内处处解析： $(\ln z{)}^{\prime }=(\mathrm{L}\mathrm{n}z{)}^{\prime }=\frac{1}{z}$ 。

在实分析中，负数不存在对数。在复分析中，负数的对数是有意义的，它是多值的。
$$\mathrm{L}\mathrm{n}(-1)=\ln |-1|+i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(-1)+i2k\pi =(2k+1)\pi i$$

(5) 幂函数

定义：

设 $z$ 为不等于零的复变量，定义 $w=z^{\mu }=e^{\mu \mathrm{L}\mathrm{n}z}$ 是主值为 $e^{\mu \ln z}$ 的多值函数。
$$w=z^{\mu }=e^{\mu \mathrm{L}\mathrm{n}z}=e^{\mu [\ln z+i2k\pi ]}=e^{\mu \ln z}\cdot e^{2k\mu \pi i}$$
性质：

当 $\mu$ 为整数 $n$ 时， $w=z^{\mu }$ 为单值函数：
$$w=z^n=e^{n\ln |z|}\cdot e^{in\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z}\cdot e^{2kn\pi i}=|z{|}^n{e}^{in\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z}$$
当 $\mu$ 为分数 $\frac{1}{n}$ 时， $w=z^{\mu }$ 为 $n$ 值函数：
$$w=z^{\frac{1}{n}}=|z{|}^{\frac{1}{n}}exp(i\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z+2k\pi }{n})$$
当 $\mu$ 为有理数 $\frac{p}{q}$ 时， $w=z^{\mu }$ 为 $q$ 值函数。

当 $\mu$ 为无理数与虚部不为零的复数时， $w=z^{\mu }$ 为无穷多值函数。