2.线性代数基础

1.矩阵

2.线性代数基础_第1张图片

2. 特殊矩阵

正交矩阵

2.线性代数基础_第2张图片

AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”。)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵

正交矩阵有如下性质:

  1. A是正交矩阵,AT也是正交矩阵
  2. A的各行是单位向量且两两正交,如上图,cossin - sincos = 0 正交。
  3. A的各列是单位向量且两两正交,如上图,-sincos+sincos = 0正交。
  4. |A|=1或-1,如上图,cos的平方-(-sin*sin) = 1,如果让一个cos为负,sin为正,则|A|=-1

置换矩阵

置换矩阵(Permutation matrix):矩阵的每一行和每一列的元素中只有一个1,其余元素都为0

置换矩阵有如下性质:

  1. 置换矩阵是正交矩阵,因此置换矩阵的性质包含了正交矩阵的性质
  2. 置换矩阵的转置 = 置换矩阵的逆

特征向量和特征值

  1. 不被矩阵改变方向的向量 是特征向量
  2. 对称矩阵总是可以找到特征向量
  3. 不是每个矩阵都有特征向量,求特征值的公式:|λE-A|=0

矩阵的本质,就是通过改变基向量x,y来对空间进行线性变化。当一个矩阵是对称矩阵时,如下图:

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