曲线积分与曲面积分总结_CFD理论扫盲03 向量微积分

CFD理论中的数学公式很多都可以用向量来表示。因此，掌握向量微积分的基本公式是很有帮助的。

注：本文内容译自《The finite volume method in computational fluid dynamics _ an advanced introduction with OpenFOAM® and Matlab》，F.Moukalled, L.Mangani, M.Darwish

1 梯度公式

曲线积分的梯度公式将曲线积分与函数在曲线端点处的值联系起来。

其描述为：标量场的梯度沿曲线(用向量，)的积分可以利用该标量场在该曲线两端的值之差来计算:

2 Green公式

格林公式描述了平面上沿封闭曲线对坐标的曲线积分与曲线所围成封闭区域上的二重积分之间的关系。

假设为二维区域的封闭轮廓，若函数为定义在R上的连续偏导数，则有：

式中，沿轮廓线C的积分以逆时针方向为正。

格林公式可以利用向量表达成更加紧凑的形式。为此可定义向量：

则格林公式可改写成以下的形式：

格林公式可用于二维流动问题中的线积分。

3 Stokes公式

斯托克斯公式是格林公式的高维版本。格林公式把线积分和二重积分联系起来，而斯托克斯公式把线积分和曲面积分联系起来。设v为向量场，S为有向曲面，C为S的边界曲线，利用右手定则确定方向，如图2.16所示。

根据斯托克斯公式有：

式中变量满足为单位切向量，且为轮廓线的弧长。线积分曲线C方向必须为正，这意味着当表面法线方向指向观察者时，为逆时针方向，方向可以采用右手定则进行确定。

4 散度定理

设为边界围成的三维空间的体积，为沿边界面向外的法向向量。若为体积上定义的向量场，则散度定理可描述为：

散度定理是流体力学中的一个重要定理，也是有限体积法的核心离散公式，其最大的特点是将体积分转化为面积分。

散度定理可以在不同的情况下得到许多其他有用的恒等式。如其可用于标量函数s和非零常数向量的乘积，从而得到下列重要关系：

散度定理也可用于张量，此时可表述为：

5 莱布尼茨积分规则

莱布尼茨积分规则给出了一个对以微分变量函数为极限的定积分求导的公式。为一个依赖于空间变量x和时间t的函数，那么莱布尼茨积分规则可以表述为：

式中各项的含义可以从图中分析出来。右边的第一项给出由于随着时间的变化而引起的积分量的变化，而第二项和第三项分别为积分上界和下界移动时面积的增加和减少。

积分规则应用与由以速度运动的表面围成的体时，可以表达为：

式中，是关于空间与时间的标量函数。对于无移动的体积，方程缩减为：

上述方程也可以应用于向量与张量。