Khan公开课 - 统计学学习笔记 （三）随机变量 概率密度 二项分布 期望值

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随机变量 Random Variable

随机变量和一般数据上的变量不一样，通常用大写字母表示，如X、Y、Z，不是个参数而是function，即函数。例如，下面表示明天是否下雨的随机变量X，如下。又例如X=每小时经过路口的车辆，随机变量是个描述，而不是方程中的变量。

随机变量有两种，一种是离散的（discrete），一种是连续的（continue）。离散的如上面例子是可以枚举，而连续的随机变量的取值是infinite的。

概率密度函数

概率probability，以roll dice为例，P(X=6)=1/6，P(X>=5)=1/3，即6点的骰子概率为1/6，大于等于5点的骰子概率为1/3。这是离散的概率例子。

对于连续的，例如明天雨量。使用的是probability density function，下图是个分布例子。

P(X=2)是多少，0.5吗？不对。精确雨量要2.00000……，概率为0。对于连续随机变量，概率的统计是一个范围，例如P(|X-2|<0.3)，相当于计算area。以f(x)表示随机variable，则为

二项分布

二项分布binomial distribution，有个更熟悉的名字normal distribution正态分布。随机变量处于两种状态，例如硬币的正面或反面，投篮投中或者miss。如果是公平随机，例如抛硬币，每个状态出现的几率是0.5。对于投篮，可能是P（shoot）=0.7，P（miss）=0.3。

如何计算P（X=n），n为出现某种状态的次数。假设一共投篮N次篮（N=6），有多少种可能组合，例如出现2次命中的组合。简单说我们有A、B两个字母，填入6个空格，可以有多少种组合。为6×5，如果有A、B、C三个字母，则有6×5×4，即N！/（N-n）！

由于在计算概率中，A和B的先后顺序没有影响，即无先后顺序，则还要除以n！（A、B或A、B、C本身的排列组合），在组合中表述为：

我们得到了组合次数，每个组合出现的概率是多少？投6中2为P(shoot)p(shoot)p(miss)p(miss)p(miss)p(miss)，将每个位置出现的概率乘前来就可以，即p^n×（1-p)^(N-n)，总的概率为：

其实倒不需要去死记硬背，只要知晓计算原理，很容易推导。

这些概率非常适合在Excel中进行计算和画图。在Excel有个小技巧我一直不会，如果固定选某个单元，选择后用F4，在copy这个公式的时候，就不会飘移位置。

期望值E(X)

期望值Exptected value of a random varaible，实际就是population mean，有些时候总本是infinite，例如无数次仍投硬币的结果，可通过频率×数值求和获得。

二项分布的E(X)

如果是二项分布，n表示次数，则E(X)=np，这个推导过程很有趣

二项分布的variance（方差）

和期望值一样，这属于头脑体操，其基本方式亦也差不多。将证明方差为np(1-p)。这部分不是Khan公开课，讲正态分布时涉及二项式方差的计算公式，兴致来了，玩一下。

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你好！ 这是你第一次使用 **Markdown编辑器** 所展示的欢迎页。如果你想学习如何使用Markdown编辑器, 可以仔细阅读这篇文章，了解一下Markdown的基本语法知识。

新的改变

我们对Markdown编辑器进行了一些功能拓展与语法支持，除了标准的Markdown编辑器功能，我们增加了如下几点新功能，帮助你用它写博客：

1. 全新的界面设计 ，将会带来全新的写作体验；
2. 在创作中心设置你喜爱的代码高亮样式，Markdown 将代码片显示选择的高亮样式 进行展示；
3. 增加了 图片拖拽 功能，你可以将本地的图片直接拖拽到编辑区域直接展示；
4. 全新的 KaTeX数学公式 语法；
5. 增加了支持甘特图的mermaid语法¹ 功能；
6. 增加了 多屏幕编辑 Markdown文章功能；
7. 增加了 焦点写作模式、预览模式、简洁写作模式、左右区域同步滚轮设置 等功能，功能按钮位于编辑区域与预览区域中间；
8. 增加了 检查列表 功能。

功能快捷键

撤销：Ctrl/Command + Z
重做：Ctrl/Command + Y
加粗：Ctrl/Command + B
斜体：Ctrl/Command + I
标题：Ctrl/Command + Shift + H
无序列表：Ctrl/Command + Shift + U
有序列表：Ctrl/Command + Shift + O
检查列表：Ctrl/Command + Shift + C
插入代码：Ctrl/Command + Shift + K
插入链接：Ctrl/Command + Shift + L
插入图片：Ctrl/Command + Shift + G

合理的创建标题，有助于目录的生成

直接输入1次#，并按下space后，将生成1级标题。
输入2次#，并按下space后，将生成2级标题。
以此类推，我们支持6级标题。有助于使用TOC语法后生成一个完美的目录。

如何改变文本的样式

强调文本 强调文本

加粗文本 加粗文本

标记文本

删除文本

引用文本

H₂O is是液体。

2¹⁰ 运算结果是 1024.

插入链接与图片

链接: link.

图片:

带尺寸的图片:

当然，我们为了让用户更加便捷，我们增加了图片拖拽功能。

如何插入一段漂亮的代码片

去博客设置页面，选择一款你喜欢的代码片高亮样式，下面展示同样高亮的 代码片.

// An highlighted block var foo = 'bar'; 

生成一个适合你的列表

• 项目
  • 项目
    • 项目

1. 项目1
2. 项目2
3. 项目3

• 计划任务
• 完成任务

创建一个表格

一个简单的表格是这么创建的：

项目	Value
电脑	$1600
手机	$12
导管	$1

设定内容居中、居左、居右

使用:---------:居中
使用:----------居左
使用----------:居右

第一列	第二列	第三列
第一列文本居中	第二列文本居右	第三列文本居左

SmartyPants

SmartyPants将ASCII标点字符转换为“智能”印刷标点HTML实体。例如：

TYPE	ASCII	HTML
Single backticks	'Isn't this fun?'	‘Isn’t this fun?’
Quotes	"Isn't this fun?"	“Isn’t this fun?”
Dashes	-- is en-dash, --- is em-dash	– is en-dash, — is em-dash

创建一个自定义列表

Markdown

Text-to- HTML conversion tool

Authors

John

Luke

如何创建一个注脚

一个具有注脚的文本。²

注释也是必不可少的

Markdown将文本转换为 HTML。

KaTeX数学公式

您可以使用渲染LaTeX数学表达式 KaTeX:

Gamma公式展示 $\Gamma (n)=(n-1)!\forall n\in \mathbb{N}$ 是通过欧拉积分

$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt.$$

你可以找到更多关于的信息 LaTeX 数学表达式here.

新的甘特图功能，丰富你的文章

gantt
        dateFormat  YYYY-MM-DD
        title Adding GANTT diagram functionality to mermaid
        section 现有任务
        已完成               :done,    des1, 2014-01-06,2014-01-08
        进行中               :active,  des2, 2014-01-09, 3d
        计划一               :         des3, after des2, 5d
        计划二               :         des4, after des3, 5d

• 关于 甘特图 语法，参考 这儿,

UML 图表

可以使用UML图表进行渲染。 Mermaid. 例如下面产生的一个序列图：:

张三 李四 王五 你好！李四, 最近怎么样? 你最近怎么样，王五？ 我很好，谢谢! 我很好，谢谢! 李四想了很长时间, 文字太长了 不适合放在一行. 打量着王五... 很好... 王五, 你怎么样? 张三 李四 王五

这将产生一个流程图。:

链接

长方形

圆

圆角长方形

菱形

• 关于 Mermaid 语法，参考 这儿,

FLowchart流程图

我们依旧会支持flowchart的流程图：

• 关于 Flowchart流程图 语法，参考 这儿.

导出与导入

导出

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1. mermaid语法说明 ↩︎

2. 注脚的解释 ↩︎