模拟退火算法

模拟退火算法是一种启发式算法；关于启发式算法可以简单总结为下面两点：

1):任何有助于找到最优解，但不能保证最优解的方法均是启发式算法；

2):有助于加速求解过程和找到较优解的方法是启发式方法

另：爬山法是于模拟退火算法有着相似地方的启发式算法的一种，知道爬山法有助于理解模拟退火算法。

爬山法

以一元函数找最值为例

a.在解空间随机生成初始解；

b.向左或向右邻域走一步（走的步数越小越好，但会增加计算量）

c.比较不同的走法下的目标函数的大小，并决定下一步往哪个方向走

d.不断重复这个步骤，直到找到一个极大值（极小值）或在定义域边缘，此时结束搜索

缺点：爬山算法实际是一种“眼光狭隘”的搜索算法（贪心算法—是一种算法思想）

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模拟退火

模拟退火算法也称金属的冷却过程，其核心思想是：如果需要解决一个问题，我们使用迭代的方法解决；在每一步，我们都会在解决方案中进行小的更改。如果得到更好的解决方案，我们会始终接受；如果得到更差的解决方案，我们也（以一定的概率）期望它变好，但这种可能性随着时间而降低。（区别于爬山法）

例：求y=11sinx+7cos（5x）在[-3,3]内的最大值

旧的解：xi对应的函数值f(xi)

新的解：在xi附近随机找一个新的解xj，对应的函数值为f(xj)

(1):如果f(xj)>f(xi),则接受新解xj

(2):如果f(xj)<=f(xi),那么我们应该直接拒绝xj吗

答：不应该，如果拒接就是爬山法了

解决方法：为了不直接拒绝xj，我们定义一个接受xj的概率p，p位于[0,1]之间，且f(xj)和f(xi)越接近，p越大。即:

[注]p=0时=爬山法，p=1时=蒙特卡洛，（符号意思为 正比于）

由于,值域[0,1];所以我们可以假设

1 接受新解的概率p越大意味着在解空间中搜索范围越大，因为接受新解的概率p越大意味着我们的搜索更容易接受不好的解，相当于增加了我们的搜索范围。

2 假设我们将搜索过程看作一个“工序”，那么搜索前期我们搜索的范围应该尽量的大（避免陷入局部最优解），搜索后期我们搜索的范围应该尽量的小（更倾向于局部搜索）。

3 在寻找最优解过程中新解接受概率p应该也要随着时间变长而变小才合理；对于式子：

以此为例，我们的搜索过程（假设搜索最大值问题）可以用下面这个简单流程表示

(1) 随机生成一个解A，计算解A对应的目标函数f(A)

(2) 在A附近生成一个解B，计算B对应的目标函数f(B)

(3) 如果f(B)>f(A)，则将B赋值给解A，然后重复上述步骤（爬山法思想）

如果f(B)<=f(A)，那么接受B的概率Pt（上面公式），然后生成一个[0,1]之间的随机数r，如果r

这里的t在编程中怎么实现，可以看成我们迭代的次数。（循环）

问题1：优化问题有约束条件怎么办？

1.生成解B做一个判断2.增加罚函数，内生到目标函数

问题2：Ct怎么设置？

Ct的设置：模拟退火过程

退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。目的是降低硬度，改善切削加工性；降低残余应力，稳定尺寸，减少变形与裂纹倾向；细化晶粒，调整组织，消除组织缺陷。准确的说，退火是一种对材料的热处理工艺，包括金属材料、非金属材料。而且新材料的退火目的也与传统金属退火存在异同。

定义初始温度T0=100，温度下降公式为：

常取0.5到0.99之间，例如取0.95，那么t时刻温度：

取,(这里取倒数是为了保证C_t关于t递增)，那么

其中Ct可以看作一个和时间相关的系数，因此在搜索过程中，我们接受新解的概率就和时间有关了，显然时间越长Ct越大。

问题3：什么时候停止搜索？

很多准则：1.达到指定的迭代次数，例如迭代500次；2.我们找到最优解连续M(例如30)次迭代都 没有变化。

问题4：怎么样在A附近随机生成一个新解B？

高效求解NP问题（如TSP问题，0-1背包问题）	使用不当，可能会陷入局部最优
相较于其他非线性与优化算法，模拟退火算法编程工作量小且易实现	参数难以控制，所得结果可能接近最优解但并非最优解