积分上限函数求导总结

情形一：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)$$

情形二：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^{g(x)}f(t)\mathrm{d}t=f(g(x))g^{\prime }(x)$$

情形三：

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t& \stackrel{\text{令}u=x-t}{}\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_x^{0}f(u)\mathrm{d}-u\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u=f(x)\end{array}$$
不是每一道题都要像此处令 $u=x-t$，应根据实际情况做适当换元。

例一：

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^{x}tf(2x-t)\mathrm{d}t& \stackrel{\text{令}u=2x-t}{}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{2x}^x(2x-u)f(u)\mathrm{d}u\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}2x{\int }_x^{2x}f(u)\mathrm{d}u-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_x^{2x}uf(u)\mathrm{d}u\\ & =2{\int }_x^{2x}f(u)\mathrm{d}u+4xf(2x)-2xf(x)-4xf(2x)+xf(x)\\ & =2{\int }_x^{2x}f(u)\mathrm{d}u-xf(x)\end{array}$$

例二：

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^{3x^2}\ln \sqrt{t+x^2}\mathrm{d}t& \stackrel{\text{令}u=t+x^2}{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{x^2}^{4x^2}\ln \sqrt{u}\mathrm{d}u\\ & =8x\ln 2x-2x\ln x\end{array}$$

除此以外，还可以使用一个更加 牛逼 复杂的一个公式，具体可看下文

含参积分求导/积分上限函数求导/

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2022年2月24日17:26:15