A^2=E | 方程的解 | 这个方程究竟能告诉我们什么
若 A 2 = E A^2=E A2=E
引理一
若 A 2 = E A^2=E A2=E 则 A A A 的特征值只能是 1 1 1 或 − 1 -1 −1
证明：
设 A A A 的特征值为 λ \lambda λ，对应的特征向量为 η \eta η。于是
A 2 η = A A η = A λ η = λ A η = λ 2 η A^2\eta=AA\eta=A\lambda \eta=\lambda A\eta=\lambda^2\eta A2η=AAη=Aλη=λAη=λ2η
而
A 2 η = E 2 η = η A^2\eta=E^2\eta=\eta A2η=E2η=η
从而
λ 2 = 1 \lambda^2=1 λ2=1
引理二
如果 A 2 = E A^2=E A2=E 则 r ( A + E ) + r ( A − E ) = n {\rm r}(A+E)+{\rm r}(A−E)=n r(A+E)+r(A−E)=n
一些关于秩的不等式
由引理 一二 知， A A A 的特征值为 1 1 1 或 − 1 -1 −1，且 r ( A + E ) + r ( A − E ) = n r(A+E)+r(A-E)=n r(A+E)+r(A−E)=n
由特征向量的知识我们可以知道，特征值 1 1 1 对应的特征向量空间的维数等于 n − r ( A − E ) n-r(A-E) n−r(A−E)，特征值 − 1 -1 −1 对应的特征向量空间的维数等于 n − r ( A + E ) n-r(A+E) n−r(A+E). 因为特征值只有 1 和 -1，所以 A A A 的线性无关的特征向量的个数为 n − r ( A − E ) + n − r ( A + E ) = n n-r(A-E)+n-r(A+E)=n n−r(A−E)+n−r(A+E)=n 说明 A A A 可对角化。
所以，存在可逆矩阵 P P P，使得
P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B
B B B 是对角矩阵，对角元由 1 1 1 和 − 1 -1 −1 组成，共有 r ( A − E ) {\rm r}(A-E) r(A−E) 个 1 1 1, r ( A + E ) {\rm r}(A+E) r(A+E) 个 − 1 -1 −1。
所以 A A A 是可以写作 P B P − 1 PBP^{-1} PBP−1 的任意一个矩阵。其中 B = d i a g ( 1 , 1 , ⋯ , 1 , − 1 , − 1 , ⋯ , − 1 ) B={\rm diag}(1,1,\cdots,1,-1,-1,\cdots,-1) B=diag(1,1,⋯,1,−1,−1,⋯,−1)， r ( A − E ) {\rm r}(A-E) r(A−E) 个 1 1 1, r ( A + E ) {\rm r}(A+E) r(A+E) 个 − 1 -1 −1， P P P 为任意可逆矩阵。
事实上，设 A = P B P − 1 A=PBP^{-1} A=PBP−1，则 A 2 = P B P − 1 P B P − 1 = P B B P − 1 = P E P − 1 = E A^2=PBP^{-1}PBP^{-1}=PBBP^{-1}=PEP^{-1}=E A2=PBP−1PBP−1=PBBP−1=PEP−1=E
2022年6月22日19:09:22