线性代数笔记2--矩阵消元

0. 简介

矩阵消元

1. 消元过程

实例方程组
$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2\end{array}$$
矩阵化
A = [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] X = [ x y z ] A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \\ X= \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} A= ​130​284​111​ ​X= ​xyz​ ​
B = [ 2 12 2 ] B= \begin{bmatrix} 2\\12\\2 \end{bmatrix} B= ​2122​ ​
消元

[ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] ⟶ ( 2 , 1 ) [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] ⟶ ( 3 , 2 ) [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \stackrel{(2,1)}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \stackrel{(3,2)}\longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} ​130​284​111​ ​⟶(2,1)​ ​100​224​1−21​ ​⟶(3,2)​ ​100​220​1−25​ ​
回代
[ 2 12 2 ] ⟶ r o w 2 − 3 r o w 1 [ 2 6 2 ] ⟶ r o w 3 − 2 r o w 2 [ 2 6 − 10 ] \begin{bmatrix} 2 \\ 12 \\ 2 \end{bmatrix} \stackrel{row_2-3row_1}\longrightarrow \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ 2 \end{bmatrix} \stackrel{row_3-2row_2}\longrightarrow \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\-10 \end{bmatrix} ​2122​ ​⟶row2​−3row1​​ ​262​ ​⟶row3​−2row2​​ ​26−10​ ​
求解
[ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] [ x y z ] = [ 2 6 − 10 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{bmatrix} ​100​220​1−25​ ​ ​xyz​ ​= ​26−10​ ​
结果
[ x y z ] = [ 2 1 − 2 ] \begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\1 \\ -2 \end{bmatrix} ​xyz​ ​= ​21−2​ ​

2. 消元矩阵

将上述消元的过程变为矩阵相乘的形式。

向量式思考
矩阵乘列向量
[ . . . . . . . . . ] [   x y z ] = [ x ∗ c o l 1 + y ∗ c o l 2 + z ∗ c o l 3 ] \begin{bmatrix} . & . & .\\ . & . & .\\ . & . & . \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ x \\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x*col1 +y*col2 +z*col3 \end{bmatrix} ​...​...​...​ ​ ​ xyz​ ​=[x∗col1+y∗col2+z∗col3​]
行向量乘矩阵
[   x   y   z ] [ . . . . . . . . . ] = [ x ∗ r o w 1 + y ∗ r o w 2 + z ∗ r o w 3 ] \begin{bmatrix}\ x \ y\ z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} . & . & .\\ . & . & .\\ . & . & . \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x*row1 \\+\\y*row2 \\+\\z*row3 \end{bmatrix} [ x y z​] ​...​...​...​ ​= ​x∗row1+y∗row2+z∗row3​ ​
一个矩阵左边乘一个单位矩阵并不改变其值
A = [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} A= ​130​284​111​ ​= ​100​010​001​ ​ ​130​284​111​ ​
而做行的加减则可以
A = [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] A ′ = [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}\\ A'= \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 &1 \end{bmatrix}=\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 &1 \\ 0 & 2 & -2\\ 0& 4 & 1 \end{bmatrix} A= ​130​284​111​ ​A′= ​1−30​010​001​ ​ ​130​284​111​ ​= ​100​224​1−21​ ​
实际上这个过程就是，我们在之前的消元过程中的第二行减去三倍第一行的过程。我们继续下去将这个矩阵对角化。
A ′ ′ = [ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] A ′ = [ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] A''= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} A'\\= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} A′′= ​100​01−2​001​ ​A′= ​100​01−2​001​ ​ ​100​224​1−21​ ​= ​100​220​1−25​ ​

我们令最后的上三角矩阵为
U = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] U=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} U= ​100​220​1−25​ ​
两个变换矩阵为
E 21 = [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] E 32 = [ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] E_{21}=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix} \\ E_{32}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} E21​= ​1−30​010​001​ ​E32​= ​100​01−2​001​ ​
则$$E_{32}(E_{21}A)=U$$
而矩阵乘法满足结合律证明即
$$E_{32}{E}_{21}A=E_{32}(E_{21}A)$$
所以最终消元的过程变成了寻找矩阵E的过程
$$E=E_{32}{E}_{21}$$
这一过程。

3. 置换矩阵

在上述的消元矩阵中，我们并没有进行列的交换。那么如何进行交换呢？

我们知道在原矩阵基础左边乘单位矩阵，矩阵不会发生变化。
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

如何交换两行呢，将单位矩阵变形
$$A^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]$$
推广到多行
A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} A= ​147​258​369​ ​

• 行变换
  交换第一行和第三行
  A ′ = [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] A'= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} A′= ​001​010​100​ ​ ​147​258​369​ ​
  交换第一行和第二行
  A ′ ′ = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] A''= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} A′′= ​010​100​001​ ​ ​147​258​369​ ​

所以交换任意两行，只需将单位矩阵中对应行$1$的位置进行交换。

• 列变换

在矩阵左边乘是对原矩阵行变换，而在矩阵右边则是列变换
交换矩阵两列
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right] \\ {A}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right] \end{gathered}$$

交换多列也是一样的效果
交换第$1$第$2$列
A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] A ′ = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] = [ 2 1 3 5 4 6 8 7 9 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\\ \end{bmatrix} \\ A'= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 5 & 4 & 6\\ 8 & 7 & 9\\ \end{bmatrix} A= ​147​258​369​ ​A′= ​147​258​369​ ​ ​010​100​001​ ​= ​258​147​369​ ​

所以交换任意两列，只需将单位矩阵中对应行$1$的位置进行交换。
与行交换的不同地方在于，矩阵乘的在右边了。

4. 矩阵的逆

A = [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] A − 1 = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] A − 1 A = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ A^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}\\ A^{-1}A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A= ​1−30​010​001​ ​A−1= ​130​010​001​ ​A−1A= ​130​010​001​ ​ ​1−30​010​001​ ​= ​100​010​001​ ​