【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用

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4.4.3 矩阵方程求解

前置:正规方程

a. 有解情况

若矩阵方程 A X B = D AXB=D AXB=D 有解相容,则有特解 X 0 = A + D B + X_0=A^+DB^+ X0=A+DB+

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  • 无解定理:若 X 0 = A + D B + X_0=A^+DB^+ X0=A+DB+ ,使 A X 0 B ≠ D AX_0B\neq D AX0B=D ,则矩阵方程无解

  • 齐次方程 A X B = 0 AXB=0 AXB=0 的通解公式为: X = Y − A + A Y B B + X=Y-A^+AYBB^+ X=YA+AYBB+ Y为任一矩阵

  • 矩阵方程 A X B = D AXB=D AXB=D 的通解公式为: X = X 0 + ( Y − A + A Y B B + ) = A + D B + + ( Y − A + A Y B B + ) X=X_0+(Y-A^+AYBB^+) = A^+DB^++(Y-A^+AYBB^+) X=X0+(YA+AYBB+)=A+DB++(YA+AYBB+)

A X A = A AXA=A AXA=A必有解,特解为 X 0 = A + A A + = A + X_0=A^+AA^+=A^+ X0=A+AA+=A+,通解为 X = X 0 + ( Y − A + A Y A A + ) X=X_0+(Y-A^+AYAA^+) X=X0+(YA+AYAA+)

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A有特解 A 0 = A + = ( 1 , 0 , 0 ) 1 × 3 A_0=A^+=\left(1,0,0\right)_{1\times 3} A0=A+=(1,0,0)1×3 ,通解公式为 X = A + + ( Y − A + A Y A A + ) X=A^++(Y-A^+AYAA^+) X=A++(YA+AYAA+) Y与 A + A^+ A+ 同型即 Y = Y 1 × 3 Y=Y_{1\times 3} Y=Y1×3

Y = ( a , b , c ) Y=(a,b,c) Y=(a,b,c) ,a,b,c为任意复数
X = A + + ( a , b , c ) − A + A ( a , b , c ) A A + = ( 1 , 0 , 0 ) + ( a , b , c ) − ( a , 0 , 0 ) = ( 1 , b , c ) \begin{aligned} &X=A^++\left(a,b,c\right)-A^+A\left(a,b,c\right)AA^+\\ &=\left(1,0,0\right)+\left(a,b,c\right)-\left(a,0,0\right)=\left(1,b,c\right) \end{aligned} X=A++(a,b,c)A+A(a,b,c)AA+=(1,0,0)+(a,b,c)(a,0,0)=(1,b,c)


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解得: X = ( 1 , b , c ) T = ( 1 b c ) X=(1,b,c)^T=\left(\begin{matrix}1\\b\\c\end{matrix}\right) X=(1,b,c)T=1bc 即若 A X A = A AXA=A AXA=A 有解,则 A T X T A T = A T A^TX^TA^T=A^T ATXTAT=AT 有解


b. 无解情况

若矩阵方程 A X B = D AXB=D AXB=D 无解,矩阵 X = ( x i j ) p × q X=(x_{ij})_{p\times q} X=(xij)p×q 的欧式范数或模长记为 ∥ X ∥ = ∥ X ∥ F = ∑ ∣ x i j ∣ 2 = t r ( X H X ) \Vert X\Vert=\Vert X\Vert_F=\sqrt{\sum\vert x_{ij}\vert^2}=\sqrt{tr(X^HX)} X=XF=xij2 =tr(XHX)

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