p13 深度学习的三个步骤

p13 深度学习的三个步骤

我们都知道机器学习有三个step，对于deep learning其实也是3个步骤：

• Step1：神经网络（Neural network）
• Step2：模型评估（Goodness of function）
• Step3：选择最优函数（Pick best function）

那对于深度学习的Step1就是神经网络（Neural Network）

Step1：神经网络

神经网络（Neural network）里面的节点，类似我们的神经元。

神经网络也可以有很多不同的连接方式，这样就会产生不同的结构（structure）在这个神经网络里面，我们有很多逻辑回归函数，其中每个逻辑回归都有自己的权重和自己的偏差，这些权重和偏差就是参数。 那这些神经元都是通过什么方式连接的呢？其实连接方式都是你手动去设计的。

完全连接前馈神经网络

概念：前馈（feedforward）也可以称为前向，从信号流向来理解就是输入信号进入网络后，信号流动是单向的，即信号从前一层流向后一层，一直到输出层，其中任意两层之间的连接并没有反馈（feedback），亦即信号没有从后一层又返回到前一层。

• 当已知权重和偏差时输入(1,-1)(1,−1)的结果
• 当已知权重和偏差时输入(-1,0)(−1,0)的结果

上图是输入为1和-1的时候经过一系列复杂的运算得到的结果

当输入0和0时，则得到0.51和0.85，所以一个神经网络如果权重和偏差都知道的话就可以看成一个函数，他的输入是一个向量，对应的输出也是一个向量。不论是做回归模型（linear model）还是逻辑回归（logistics regression）都是定义了一个函数集（function set）。我们可以给上面的结构的参数设置为不同的数，就是不同的函数（function）。这些可能的函数（function）结合起来就是一个函数集（function set）。这个时候你的函数集（function set）是比较大的，是以前的回归模型（linear model）等没有办法包含的函数（function），所以说深度学习（Deep Learning）能表达出以前所不能表达的情况。

我们通过另一种方式显示这个函数集：

全链接和前馈的理解

• 输入层（Input Layer）：1层

• 隐藏层（Hidden Layer）：N层

• 输出层（Output Layer）：1层

• 为什么叫全链接呢？

  • 因为layer1与layer2之间两两都有连接，所以叫做Fully Connect；

• 为什么叫前馈呢？

  • 因为现在传递的方向是由后往前传，所以叫做Feedforward。

    深度的理解

    那什么叫做Deep呢？Deep = Many hidden layer。那到底可以有几层呢？这个就很难说了，以下是老师举出的一些比较深的神经网络的例子

• 2012 AlexNet：8层

• 2014 VGG：19层

• 2014 GoogleNet：22层

• 2015 Residual Net：152层

• 101 Taipei：101层

随着层数变多，错误率降低，随之运算量增大，通常都是超过亿万级的计算。对于这样复杂的结构，我们一定不会一个一个的计算，对于亿万级的计算，使用loop循环效率很低。

这里我们就引入矩阵计算（Matrix Operation）能使得我们的运算的速度以及效率高很多：

矩阵计算

如下图所示，输入是\begin{bmatrix}&1&-2\ &-1&1\end{bmatrix}[1−1−21]，输出是\begin{bmatrix}&0.98\ &0.12\end{bmatrix}[0.980.12]。 计算方法就是：sigmoid（权重w【黄色】 * 输入【蓝色】+ 偏移量b【绿色】）= 输出

其中sigmoid更一般的来说是激活函数(activation function)，现在已经很少用sigmoid来当做激活函数。

如果有很多层呢？

a^1 = \sigma (w^1x+b1) \ a^2 = \sigma (w^1a1+b^2) \ ··· \ y = \sigma (w^La{L-1}+b^L) a1=σ(w1x+b1)a2=σ(w1a1+b2)⋅⋅⋅y=σ(wLaL−1+bL)

计算方法就像是嵌套，这里就不列公式了，结合上一个图更好理解。所以整个神经网络运算就相当于一连串的矩阵运算。

从结构上看每一层的计算都是一样的，也就是用计算机进行并行矩阵运算。 这样写成矩阵运算的好处是，你可以使用GPU加速。 整个神经网络可以这样看：

本质：通过隐藏层进行特征转换

把隐藏层通过特征提取来替代原来的特征工程，这样在最后一个隐藏层输出的就是一组新的特征（相当于黑箱操作）而对于输出层，其实是把前面的隐藏层的输出当做输入（经过特征提取得到的一组最好的特征）然后通过一个多分类器（可以是softmax函数）得到最后的输出y。

示例：手写数字识别

举一个手写数字体识别的例子： 输入：一个16*16=256维的向量，每个pixel对应一个dimension，有颜色用（ink）用1表示，没有颜色（no ink）用0表示 输出：10个维度，每个维度代表一个数字的置信度。

从输出结果来看，每一个维度对应输出一个数字，是数字2的概率为0.7的概率最大。说明这张图片是2的可能性就是最大的

在这个问题中，唯一需要的就是一个函数，输入是256维的向量，输出是10维的向量，我们所需要求的函数就是神经网络这个函数

从上图看神经网络的结构决定了函数集（function set），所以说网络结构（network structured）很关键。

接下来有几个问题：

• 多少层？ 每层有多少神经元？ 这个问我们需要用尝试加上直觉的方法来进行调试。对于有些机器学习相关的问题，我们一般用特征工程来提取特征，但是对于深度学习，我们只需要设计神经网络模型来进行就可以了。对于语音识别和影像识别，深度学习是个好的方法，因为特征工程提取特征并不容易。
• 结构可以自动确定吗？ 有很多设计方法可以让机器自动找到神经网络的结构的，比如进化人工神经网络（Evolutionary Artificial Neural Networks）但是这些方法并不是很普及 。
• 我们可以设计网络结构吗？ 可以的，比如 CNN卷积神经网络（Convolutional Neural Network ）

Step2: 模型评估

损失示例

对于模型的评估，我们一般采用损失函数来反应模型的好差，所以对于神经网络来说，我们采用交叉熵（cross entropy）函数来对yy和\hat{y}y^的损失进行计算，接下来我们就是调整参数，让交叉熵越小越好。

总体损失

对于损失，我们不单单要计算一笔数据的，而是要计算整体所有训练数据的损失，然后把所有的训练数据的损失都加起来，得到一个总体损失L。接下来就是在function set里面找到一组函数能最小化这个总体损失L，或者是找一组神经网络的参数\thetaθ，来最小化总体损失L

Step3：选择最优函数

如何找到最优的函数和最好的一组参数呢，我们用的就是梯度下降，这个在之前的视频中已经仔细讲过了，需要复习的小伙伴可以看前面的笔记。

具体流程：\thetaθ是一组包含权重和偏差的参数集合，随机找一个初试值，接下来计算一下每个参数对应偏微分，得到的一个偏微分的集合\nabla{L}∇L就是梯度,有了这些偏微分，我们就可以不断更新梯度得到新的参数，这样不断反复进行，就能得到一组最好的参数使得损失函数的值最小

反向传播

在神经网络中计算损失最好的方法就是反向传播，我们可以用很多框架来进行计算损失，比如说TensorFlow，theano，Pytorch等等

思考

为什么要用深度学习，深层架构带来哪些好处？那是不是隐藏层越多越好？

隐藏层越多越好？

从图中展示的结果看，毫无疑问，层次越深效果越好~~

普遍性定理

参数多的model拟合数据很好是很正常的。下面有一个通用的理论： 对于任何一个连续的函数，都可以用足够多的隐藏层来表示。那为什么我们还需要‘深度’学习呢，直接用一层网络表示不就可以了？在接下来的课程我们会仔细讲到

p14背景

梯度下降

• 给到 \thetaθ (weight and bias)
• 先选择一个初始的 \theta^0θ0，计算 \theta^0θ0 的损失函数（Loss Function）设一个参数的偏微分
• 计算完这个向量（vector）偏微分，然后就可以去更新的你 \thetaθ
• 百万级别的参数（millions of parameters）
• 反向传播（Backpropagation）是一个比较有效率的算法，让你计算梯度（Gradient） 的向量（Vector）时，可以有效率的计算出来

链式法则

• 连锁影响(可以看出x会影响y，y会影响z)
• BP主要用到了chain rule

反向传播

1. 损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的，也就是就算一个样本的误差，比如我们想要分类，就是预测的类别和实际类别的区别，是一个样本的，用L表示。
2. 代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和的平均，也就是损失函数的总和的平均，有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
3. 总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。

对于L(\theta)L(θ)就是所有l^{nln的损失之和，所以如果要算每个L(\theta)L(θ)的偏微分，我们只要算每个l}nln的偏微分，再把所有l^{nln偏微分的结果加起来就是L(\theta)L(θ)的偏微分，所以等下我们只计算每个l}nln的偏微分。 我们先在整个神经网络（Neural network）中抽取出一小部分的神经（Neuron）去看（也就是红色标注的地方）：

取出一个Neuron进行分析

从这一小部分中去看，把计算梯度分成两个部分

• 计算\frac{\partial z}{\partial w}∂w∂z（Forward pass的部分）

• 计算

  \frac{\partial l}{\partial z}∂z∂l

  ( Backward pass的部分 )

  Forward Pass

那么，首先计算\frac{\partial z}{\partial w}∂w∂z（Forward pass的部分）：

根据求微分原理，forward pass的运算规律就是：

\frac{\partial z}{\partial w_1} = x_1 \ \frac{\partial z}{\partial w_2} = x_2∂w1∂z=x1∂w2∂z=x2 这里计算得到的x_1x1和x_2x2恰好就是输入的x_1x1和x_2x2 直接使用数字，更直观地看到运算规律：

Backward Pass

(Backward pass的部分)这就很困难复杂因为我们的l是最后一层： 那怎么计算 \frac{\partial l}{\partial z}∂z∂l （Backward pass的部分）这就很困难复杂因为我们的ll是最后一层：

计算所有激活函数的偏微分，激活函数有很多，这里使用Sigmoid函数为例

这里使用链式法则（Chain Rule）的case1，计算过程如下：

\frac{\partial l}{\partial z} = \frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial l}{\partial a} \Rightarrow {\sigma}’(z)∂z∂l=∂z∂a∂a∂l⇒σ′(z) \frac{\partial l}{\partial a} = \frac{\partial z’}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z’} +\frac{\partial z’’}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z’’}∂a∂l=∂a∂z′∂z′∂l+∂a∂z′′∂z′′∂l

最终的式子结果：

但是你可以想象从另外一个角度看这个事情，现在有另外一个神经元，把forward的过程逆向过来,其中{\sigma}’(z)σ′(z)是常数，因为它在向前传播的时候就已经确定了

case 1 : Output layer

假设\frac{\partial l}{\partial z’}∂z′∂l和\frac{\partial l}{\partial z’’}∂z′′∂l是最后一层的隐藏层 也就是就是y1与y2是输出值，那么直接计算就能得出结果

但是如果不是最后一层，计算\frac{\partial l}{\partial z’}∂z′∂l和\frac{\partial l}{\partial z’’}∂z′′∂l的话就需要继续往后一直通过链式法则算下去

case 2 : Not Output Layer

对于这个问题，我们要继续计算后面绿色的\frac{\partial l}{\partial z_a}∂za∂l和\frac{\partial l}{\partial z_b}∂zb∂l,然后通过继续乘w_5w5和w_6w6得到\frac{\partial l}{\partial z’}∂z′∂l，但是要是\frac{\partial l}{\partial z_a}∂za∂l和\frac{\partial l}{\partial z_b}∂zb∂l都不知道，那么我们就继续往后面层计算，一直到碰到输出值，得到输出值之后再反向往输入那个方向走。

对上图，我们可以从最后一个\frac{\partial l}{\partial z_5}∂z5∂l和\frac{\partial l}{\partial z_6}∂z6∂l看，因为\frac{\partial l}{\partial z_a}∂za∂l和\frac{\partial l}{\partial z_b}∂zb∂l比较容易通过output求出来，然后继续往前求\frac{\partial l}{\partial z_3}∂z3∂l和\frac{\partial l}{\partial z_4}∂z4∂l，再继续求\frac{\partial l}{\partial z_1}∂z1∂l和\frac{\partial l}{\partial z_2}∂z2∂l 最后我们就得到下图的结果

实际上进行backward pass时候和向前传播的计算量差不多。

总结

我们的目标是要求计算\frac{\partial z}{\partial w}∂w∂z（Forward pass的部分）和计算\frac{\partial l}{\partial z}∂z∂l ( Backward pass的部分 )，然后把\frac{\partial z}{\partial w}∂w∂z和\frac{\partial l}{\partial z}∂z∂l相乘，我们就可以得到\frac{\partial l}{\partial w}∂w∂l,所有我们就可以得到神经网络中所有的参数，然后用梯度下降就可以不断更新，得到损失最小的函数

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相乘，我们就可以得到\frac{\partial l}{\partial w}∂w∂l,所有我们就可以得到神经网络中所有的参数，然后用梯度下降就可以不断更新，得到损失最小的函数 [外链图片转存中…(img-nypm31Ul-1637501404507)]

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