[数值计算-10]：一元非线性函数求最小值 - 导数与梯度下降法&Python法代码示例

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目录

第1章 一元非线性函数

1.1 什么是函数的元

1.2 什么是非线性函数

1.3 非线性函数案例

1.4 非线性函数的几何图形示意图

第2章 函数的导数

2.1 什么是函数的导数

2.2 导数的几何意义 

2.3 导函数

2.4 函数的凹凸性：什么是凸函数和凹函数?

第3章 极大与最值

3.1 什么是函数的最小值、极小值?

3.2 求极值的重要意义

3.3 函数的单调性

3.4 什么样的函数有极小值和最小值?

3.5 牛顿迭代法能求函数的最小值吗？

3.6 如何求函数的最小值？

第4章 梯度下降法求函数最小值的原理

4.1 什么是物理意义上的梯度

4.2 什么数学意义上的梯度

4.3 为什么叫梯度下降法

第5章 梯度下降法求一元n次函数的极小值。

5.1 函数模型

5.2 迭代过程

5.3 学习率对迭代过程的影响

5.4 迭代退出的条件可选项

5.6 迭代退出的综合条件

5.7 迭代的误差

第6章 多元函数的极小值

6.1 梯度下降法求二元n次函数的极小值

6.2 梯度下降法求多元N函数的极小值。

第7章  一元函数的极小值的代码案例

7.1 前置条件

7.2 函数的定义

7.3 函数的可视化​​​​​

7.3  公式法求极值

第8章 梯度下降法求极值

8.1 梯度下降法算法定义

8.2 梯度下降法使用-学习率=0.1：小碎步快速跑

8.3 梯度下降法使用-学习率=0.5：一次性收敛，梯度为0

8.4 梯度下降法使用-学习率=0.9：步伐过大，震荡收敛

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第1章 一元非线性函数

1.1 什么是函数的元

所谓元，就是函数未知数，未知数的个数，就是函数的元数。

一元函数，就是未知数只有一个，即g=f(x)

二元函数，就是未知数有两个，即g=f(x,y)

1.2 什么是非线性函数

线性函数是一次函数的别称，则非线性函数即函数图像不是一条直线的函数。

非线性函数包括指数函数、幂函数、对数函数、多项式函数等等基本初等函数以及他们组成的复合函数

1.3 非线性函数案例

 y = f(x) = a3*x^3 + a1*x^1 +  a0 

另a3 = 1， a2=-1， a0=-1；得到:

  y = f(x) = x^3 - x -  1 

1.4 非线性函数的几何图形示意图

第2章 函数的导数

2.1 什么是函数的导数

 

 导数也称为微分！！！

2.2 导数的几何意义 

（1）瞬时速度

（2）切线与斜率

 

2.3 导函数

以x为自变量，以函数f(x)在x处的导数值为因变量y，而构成的函数为x的导函数，记成f'(x)。

实际上，大多数初等函数，都可以通过原函数f(x）直接获取f(x)的导函数。

有了导函数f'(x)，就可以直接求y=f(x)在任意点处的导数。

2.4 函数的凹凸性：什么是凸函数和凹函数?

凸函数分为上凸和下凸，下凸又成为凹，因此，凸函数和凹函数，统称为凸函数。

（1）凹凸性的几何意义

 

 简单的说：

上凸：在一个区间内，函数曲线上的点都在函数上任意两点的连线（直线）的上方。

下凸：在一个区间内，函数曲线上的点都在函数上任意两点的连线（直线）的下方。

（2）凹凸性的导数意义

 

第3章 极大与最值

3.1 什么是函数的最小值、极小值?

最值，是函数的定义域内的最高点和最低点。函数最值分为函数最小值与函数最大值。

简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。

函数最大（小)值的几何意义：函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。

函数极值：是一定范围内（给定区间）内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，极值也称为相对极值或局部极值。

3.2 求极值的重要意义

在科学计算中，为了通过调整参数，使得误差最小，因此需要求函数的最小值，以确保模型的精确性。特别是人工智能深度学习中，得到了广泛的应用。

通过不断调整参数，使得误差最小，就是深度学习的过程。

3.3 函数的单调性

函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。

当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

（1）函数单调性的几何特征：

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的

 单调函数的是没有极值的，区间的两个端点就是最值。

3.4 什么样的函数有极小值和最小值?

（1）极限法描述

（2）导数法描述

y=f(x0)导数k=0：表示函数在x0的函数值y=f(x0)没有变化. y2 = y1

y=f(x0)导数k<0：表示函数向更小值的值方向发展，y2

y=f(x0)导数k>0：表示函数向更大值的值方向发展，y2>y1，即k= (y2-y1)/(x2-x1), 

因此：

极大值（高点）：

y=f(x)在x0左导数k>0(y增长），y=f(x)在x0导数k=0（y值不变），y=f(x)在x0由右导数k<0（y值下降）。

极小值（低点）：

y=f(x)在x0左导数k>0(y下降），y=f(x)在x0导数k=0（y值不变），y=f(x)在x0由右导数k<0（y值增长）。

上升鞍点（震荡）：

下降鞍点（震荡）：

3.5 牛顿迭代法能求函数的最小值吗？

越靠近极值点的导数，越接近0，因此其直线方程越是与轴平行，与 X轴的交点越远离极值的。

因此，牛顿迭代法不适合求函数的极值点。

3.6 如何求函数的最小值？

以y= f(x) = x^2 + 2x + 2为例。   

（1）解析法：直接公式法

x0 = -b/2a = -2/2 = -1.

最小值：f(-1)=1 -2 + 2 = 1

最小值：fmin = (4ac - b^2)/4a =  (4*1*2 -  4)/4 = 1

（2）解析法：导数公式法

f'(x) = 2x + 2 = 0 => 导数为0处，是极值点 => x = -1 

f''(x) = 2 > 0 => 二阶导数恒0， 因此最小值存在。

f(-1) = 1 -2 + 2 = 1  => 最值点位 1.

（3）迭代法：梯度下降法

求函数的极小值点与最小值点有很多方法，比较简单、常用的方法就是梯度下降法。

第4章 梯度下降法求函数最小值的原理

4.1 什么是物理意义上的梯度

梯：阶梯，台阶和梯子，是只一步步达到目标的途径。

梯度：相邻两个梯的高度，称为梯度。

下降：（1）在由原点到目的点的距离是逐渐下降的，（2）在由原点到目的点的过程中，每格梯的高度是下降的，越接近原点，其梯度越大，步伐越大。越接近目的点，其梯度越小，步伐越小。

4.2 什么数学意义上的梯度

梯度的本意是一个向量（矢量）方向，表示某一函数在该点处的方向导数，沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

在空间曲线中，有所有方向的切线（斜率）组成的一个向量，称为梯度。

在一元平面曲线中，任意一点的切线，就称为梯度，切线的斜率值，就是梯度的模。

4.3 为什么叫梯度下降法

（1）梯度：

• 各个方向导数组成的向量的方向。
• 通过一步步迭代（即爬梯子）的方式一步步逼近目的地。

（2）下降：

• 由于梯度的方向是上升，因此这里采用的是导数反方向。
• 函数值由高点逐渐逼近最低点（不是零值）
• 在逼近的过程中，导数（梯度）也跟着逐渐变低，趋于为0（导数为0的地方，就是最小值）

第5章 梯度下降法求一元n次函数的极小值。

5.1 函数模型

5.2 迭代过程

上述迭代，每次迭代的步长与该点的导数强相干。当导数为0时，Xk就无法迭代了，这就是梯度消失。

学习率：调节导数对迭代步长的影响，学习率可以是固定值，也可以是动态变化。

特别注意：

迭代方向是梯度的反方法，这是因为梯度的方向是向上的方向，找最大值的方向，而这里是找最小值（极小值），因此方向是梯度的反方向。

5.3 学习率对迭代过程的影响

5.4 迭代退出的条件可选项

迭代的退出规则的选择是梯度下降法的一个难点之一，它与迭代算法和函数本身都是强关联的。

（1）五星*****: 迭代次数：

• 规则：

梯度下降法有可能反复震荡，无限制的迭代下去，因此可以通过限制迭代次数，可以防止永不收敛。

• 风险：

无法预知应该迭代多少次，迭代次数与初值有很大的相干性。

（2）三星***: 梯度的值（导数）接近于0

• 规则

梯度小于某一个极小值，这条规则可用的依据是，极小值点处的梯度为0，即导数为0。

• 风险

导数为零是必要条件，不是充要条件，以这条规则为收敛条件，有可能找到的是“鞍点” 而不是极值点。

（3）一星*: 相邻梯度的变化（二阶导数）接近于0

• 规则

梯度变化小于某一个极小值。

• 风险

这个规则谨慎使用，因为梯度不变化，不代表梯度不下降了。

如：线性下降，下降率是恒定值，因此相邻迭代点的梯度差为0，但此时还是继续下降的。

（4）三星***：x值的变化接近于0

• 规则

当x的变化很小时，表明已经接近导数为0的地方。

• 风险

这种判断规则的风险是：梯度消失现象，错把鞍点的值当成极值。

由于x的迭代值取决于梯度，当在鞍点处的梯度为0时，x的变化也是0。

（5）五星***：y值的变化接近于0

• 规则：

当y的变化很小时，表明已经接近导数为0的地方。

• 风险

如果步长比较大，在xk+1和fxk跨越xr时，可能会导致f(xk+1)和(fxk)的值接近，如下图f(x3)和f(x4)的值相乘接近于0，但很显然，无论是x3还是x4，都离真实的xr很远。

5.6 迭代退出的综合条件

从上所述，单一的退出条件都有各种的风险和问题。

因此，需要一种综合的规则，确保规避上述各自的风险。

5.7 迭代的误差

很显然，并不像就方程的根一样，f(xr)并不落在f(xk+1)和f(xk）之间。

因此无法直接求出y的误差。

但是，可以先求出f(xk+1)和f(xk）之间的误差，然后用中值公式 作为f(xr）的近似值。

第6章 多元函数的极小值

6.1 梯度下降法求二元n次函数的极小值

待续。。。。。

6.2 梯度下降法求多元N函数的极小值。

待续。。。。。

第7章  一元函数的极小值的代码案例

7.1 前置条件

#导入库
from math import *
import time
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

7.2 函数的定义

# 一元N次非线性函数
# y=f(x) = x^2 +2 x + 2
def f(x):
    return(1.0*x**2 + 2.0*x + 2)

# 一阶导函数：y=fv1(x) =2x + 2
def fv1(x):
    return(2.0*x + 2.0)  #导函数  

# 一阶导函数：y=fv2(x) =2
def fv2(x):
    return(2.0)  #导函数 

# 一元二次函数的最小值公式
def fmin(a,b,c):
    return ((4*a*c - b**2)/(4*a))

# 一元二次函数的最小值处的x值公式
def fmin_x(a,b,c):
    return ((-b)/(2*a))

7.3 函数的可视化​​​​​

# 原函数可视化
x_data = np.arange(-3,2,0.25)
y_data = []
print(x_data)

for x in x_data:
    y_data.append(f(x))   #解析法依次求解
plt.scatter(x_data, y_data)

[-3.   -2.75 -2.5  -2.25 -2.   -1.75 -1.5  -1.25 -1.   -0.75 -0.5  -0.25
  0.    0.25  0.5   0.75  1.    1.25  1.5   1.75]

# 一阶导函数可视化
x_data = np.arange(-3,2,0.25)
y_data = []
print(x_data)

for x in x_data:
    y_data.append(fv1(x))   #解析法依次求解
plt.scatter(x_data, y_data)

[-3.   -2.75 -2.5  -2.25 -2.   -1.75 -1.5  -1.25 -1.   -0.75 -0.5  -0.25
  0.    0.25  0.5   0.75  1.    1.25  1.5   1.75]

# 二阶导函数
x_data = np.arange(-3,2,0.25)
y_data = []
print(x_data)

for x in x_data:
    y_data.append(fv2(x))   #解析法依次求解
plt.scatter(x_data, y_data)

 [-3. -2.75 -2.5 -2.25 -2. -1.75 -1.5 -1.25 -1. -0.75 -0.5 -0.25 0. 0.25 0.5 0.75 1. 1.25 1.5 1.75]

7.3  公式法求极值

# 公式法求函数最小值
print("极值点处的x值：",fmin_x(1,2,2))
print("极值点处的y值：",fmin(1,2,2))

极值点处的x值： -1.0
极值点处的y值： 1.0

第8章 梯度下降法求极值

8.1 梯度下降法算法定义

# 梯度下降法求最小值的算法
def fmin_gradient_descent(f,fv1, a,b,c,init_x0, learning_rate, max_loop,show_flag=0):
    x_data  = []
    y_data  = []
    z_data  = []
    x_k = init_x0
    x_k1 = init_x0
    
    for k in range(max_loop):
        #计算梯度
        step = learning_rate * fv1(x_k)     
        
        # 保存当前的迭代点
        x_data.append(x_k1)
        y_data.append(f(x_k1))
        z_data.append(step)
        
        x_k1 = x_k - step
        
        # 为新一轮迭代做准备
        x_k = x_k1
        
    if (show_flag != 0):
        plt.scatter(x_data, y_data)
        plt.scatter(x_data, z_data)
    return (x_k,f(x_k1))

8.2 梯度下降法使用-学习率=0.1：小碎步快速跑

# 梯度下降法算法的使用
a = 1
b = 2
c = 2
x0 = 2
learning_rate = 0.1
max_loop = 100
show_flag = 1

result = fmin_gradient_descent(f,fv1, a,b,c,x0, learning_rate, max_loop,show_flag)
print(result)

# 本案例中
# 学习率=0.1，学习率较小，通过小步碎跑的方式逐步收敛域目标点。

输出：

(-0.9999999993888892, 1.0)

蓝色曲线：x值迭代曲线，从右往左，x值从2逐步单调收敛-1，y=f(x)逐步单调收敛收敛于1.

橙色曲线：迭代步长曲线，从右往左，step值从2.0逐步单调收敛于0。

8.3 梯度下降法使用-学习率=0.5：一次性收敛，梯度为0

# 梯度下降法算法的使用
a = 1
b = 2
c = 2
x0 = 2
learning_rate = 0.5
max_loop = 100
show_flag = 1

result = fmin_gradient_descent(f,fv1, a,b,c,x0, learning_rate, max_loop,show_flag)
print(result)

# 在本案例中：
# 学习率等于0.5时，为最佳迭代，无论Xk在哪里，都能够只需要一步迭代，就能够到目标点。
# 然后目标点的导数为0，后续的迭代步长为0，因为这里不可能是鞍点。
# 这就是导数（切线）的神奇之处，不同点，其导数不同值不同，不同点的迭代步长不同
# 但都能够保证，一次能够找到目标最小值点（后续的导数为0）

输出：

(-1.0, 1.0)

蓝色曲线：x值迭代曲线，从右往左，x值从2一步收敛-1，y=f(x)一步收敛收敛于1.

橙色曲线：迭代步长曲线，从右往左，step值从2.0一步收敛于0。

8.4 梯度下降法使用-学习率=0.9：步伐过大，震荡收敛

# 梯度下降法算法的使用
a = 1
b = 2
c = 2
x0 = 2
learning_rate = 0.9
max_loop = 50
show_flag = 1

result = fmin_gradient_descent(f,fv1, a,b,c,x0, learning_rate, max_loop,show_flag)
print(result)

# 本案例中
# 学习率=0.9，学习率较大，通过震荡的方式逐渐收敛到目标点。

输出：

(-0.9999571825692188, 1.0000000018333324)

蓝色曲线：x值迭代曲线，从右往左，x值从2震荡收敛-1，y=f(x)逐步单调收敛收敛于1。

橙色曲线：迭代步长曲线，从右往左，step值从2.0逐步单调收敛于0。

因此，震荡收敛，是x值震荡，而不是y=f(x)震荡，是y=f(x)和步长都是单调收敛的。

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