python 线性变换
线性代数仅仅围绕向量加法和数乘。
前言
距离上一篇博客已经好长时间没有写啦，前段时间也没有整天在摸鱼，可能学习的知识太过零散，没法总结。
最近三天猛接触向量，终于把线性代数的一些知识搞明白了，用python进行了验证。
之前也写过一篇关于向量的：python 求点和点之间的距离；向量之间的余弦距离、欧式距离；点到向量的距离
需要理清的概念
- 矩阵变换
- 线性变换
- 基变换
- 坐标变换
- 矩阵右乘和左乘
- 坐标旋转方程
- 跟随坐标变换后的点与原坐标下点的位置关系
- 旋转方程和欧拉角
- 仿射变换
目录
- 前言
- 1. 什么是线性变换
-
- 1.1 例1：向量变换
- 1.2 例2：坐标旋转
- 1.3 总结
- 1.4 参考链接
- 2. 线性变换实现
-
- 2.1 矩阵变换
- 2.2 基变换
- 2.3 坐标变化
- 2.4 位置不变
- 3. 旋转方程和欧拉角
- python实践：计算x轴坐标变换对向量夹角的影响
1. 什么是线性变换
特征：
- 直线变换后仍为直线；2. 原点保持固定。
特性：
变换后的向量仍旧是相同的线性组合，不过使用的是新的基向量。（这个理解很重要，对应与1.1 坐标旋转图中右上角的定理部分）
那么，只需要知道两个基向量（i向量和j向量）转换之后的的结果，而不用知道转换本身，我们就能推导出二维空间中所有向量转换之后的结果。
定义：
变换（或映射）T称为线性变换的，若：
- 对定义域内的一切u,vu,v，T(u+v)=T(u)+T(v)T(u+v)=T(u)+T(v)。
- 对定义域内的一切uu； 和任何标量c，T(T(cu)=u)=cT(u)T(u)。
可以证明，每一个矩阵变换都是线性变换，反正则不成立。（矩阵变换就是线性变换）
1.1 例1：向量变换
1.2 例2：坐标旋转
解法1：
参考链接：利用向量推导坐标旋转公式(方案一)
解法2（线性变换的思路，推荐）：
1.3 总结
- 坐标系变换前后使用相同的线性组合；
- 原坐标系去表达变换后的坐标。
1.4 参考链接
矩阵与线性变换
2. 线性变换实现
参考链接：坐标变换与基变换——左乘与右乘
可以先思考两个问题：
- A坐标系上的点P，通过坐标变换到B坐标系，P是跟着动的，此时P点的坐标在A坐标系中应该如何表示？
此题的解即为“1.2 例2：坐标旋转”，这是一个线性变换。 - A坐标系上的点P，通过坐标变换到B坐标系，P是不动的，此时P点的坐标在B坐标系中应该如何表示？
2.1 矩阵变换
解决上述两个问题，共同点就是坐标系发生了变换，而坐标系的变换要用矩阵变换来表述。可以先理解一下下面这两句话，后面会对这两句话例子描述。用什么方法来求解矩阵变换的这个矩阵就可以用基变换来求解。
- 矩阵变换之于同一个坐标系，可以理解为坐标系不变，点的位置改变。
- 矩阵变换之于不同坐标系，可以理解为点的绝对位置不变，坐标系改变。
2.2 基变换
每当我们用数字描述向量时，它都依赖于我们使用的基。
变换中需要满足以下条件，下面的变换矩阵理解为上文“1.2 例2：坐标旋转”中最终答案的橙色矩阵，在基变换中这个矩阵也被称为过渡矩阵：
- 坐标系A和坐标系B原点均为(0,0)
- 变换矩阵的各个列向量分别对应B坐标系的各个基向量
- 变换矩阵的各个列向量都是坐标系A中的向量
坐标系B的基向量是坐标系A的基向量的一个线性变换 ，确定坐标系B的基向量在A坐标系中的表示的过程叫做B坐标系的定位(landed)。将B坐标系的基向量定位在A坐标系中确定了一种关系，我们暂且把这种关系称为追溯关系，把A坐标系称为B坐标系的上游坐标系。反过来，如果把坐标系A的基向量定位在B坐标系中，那么B坐标系就成了A坐标系的上游坐标系。
得到了过渡矩阵之后就可以实现坐标变化。
2.3 坐标变化
坐标变换是空间实体的位置描述，是从一种坐标系统变换到另一种坐标系统的过程。通过建立两个坐标系统之间一一对应关系来实现。是各种比例尺地图测量和编绘中建立地图数学基础必不可少的步骤。两个及以上的坐标转换时由极坐标相对参照确定维数空间。
坐标变换就是原坐标系上的点跟随左边变换全部进行移动，比如在二维平面上的旋转、齐次坐标系与平移等。
坐标变换必定发生基变换（这句话是我自己理解的），这两个都属于矩阵变换，而矩阵变换都是线性变换，变换后的向量仍旧是相同的线性组合。比如P在A坐标系下的表示是(2, 1)，在B坐标系下的表示仍旧是(2, 1)，而A坐标系和B坐标系的基不同。
参考链接：坐标系变换
2.4 位置不变
这个就是第二个问题的解决方案，可以看这个链接的“P13"-UP主汉语配音-【线性代数的本质】合集-转载于3Blue1Brown官方双语】（图片就是这个教程中来的）。
下图是对以上内容的总结和对第二个问题的示意解法。
3. 旋转方程和欧拉角
参考：
Computing Euler angles from a rotation matrix
旋转(Rotation)矩阵转欧拉角(euler）.
一句话总结：
- 明白旋转矩阵的组成部分；
- 欧拉角是由旋转矩阵推导来的；
- 欧拉角有两解和无穷多解。
python实现
欧拉角中的偏航角(Yaw)、俯仰角(Pitch)和横滚角(Roll)概念个人感觉是比较难分清的，但是真正在求解的过程中只需要记住绕x轴，绕y轴，绕z轴旋转就可以了，以下几个链接的计算方式主要分为两种，一种是用到了cv2.decomposeProjectionMatrix函数，另一种是通过推导公式计算，两者的结果是一样的。
https://blog.csdn.net/loveliuzz/article/details/102716290
https://blog.csdn.net/weixin_41856614/article/details/107488878
https://blog.csdn.net/ZHUO__zhuo/article/details/124634228
https://blog.csdn.net/u014090429/article/details/100762308
https://github.com/yuenshome/yuenshome.github.io/issues/9
https://stackoverflow.com/questions/15022630/how-to-calculate-the-angle-from-rotation-matrix
python实践：计算x轴坐标变换对向量夹角的影响
import numpy as np
import math
def get_angle(v1, v2):
# 余弦距离计算角度[0-180)
if np.count_nonzero(v1) == 0 or np.nonzero(v2) == 0:
return np.nan
angle = np.dot(v1, v2) / (np.sqrt(np.sum(v1 * v1)) * np.sqrt(np.sum(v2 * v2)))
angle = np.arccos(angle) / np.pi * 180
return angle
a = np.array([2, 1])
b = np.array([2, -3])
c = np.array([-2, 2])
print(get_angle(a, b))
print(get_angle(c, b))
ang = 30
ang = ang / 180 * np.pi
trans = np.array([[math.cos(ang), 0],
[math.sin(ang), 1]])
ta = np.dot(trans, a)
tb = np.dot(trans, b)
tc = np.dot(trans, c)
print(get_angle(ta, tb))
print(get_angle(tc, tb))