【玩转算法】（初始）动态规划

•  本期主题：动态规划，及其相关oj题。
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1）DP定义

• 动态规划是分治思想的延伸，通俗一点来说就是大事化小，小事化无的艺术。
• 在将大问题化解为小问题的分治过程中，保存对这些小问题已经处理好的结果，并供后面处理更大规模的问题时直接 使用这些结果。

动态规划具备了以下三个特点

• 1. 把原来的问题分解成了几个相似的子问题。
• 2. 所有的子问题都只需要解决一次。
• 3. 储存子问题的解。

动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移方程的定义

也就是(状态以及状态之间的递推关系)

动态规划问题一般从以下四个角度考虑：

• 1. 状态定义
• 2. 状态间的转移方程定义
• 3. 状态的初始化
• 4. 返回结果

• 状态定义的要求：定义的状态一定要形成递推关系。
• 一句话概括：三特点四要素两本质
• 适用场景：最大值/最小值, 可不可行, 是不是，方案个数 

2）斐波那契

牛客网_oj

方法一:递归

缺点：

• 时间复杂度0(N^2),非常低效的一个算法。

优点：

• 代码简单易理解。

int Fibonacci(int n ) {
    // write code here
    if(n ==0){
        return 0;
    }
    if(n == 1 || n ==2){
        return 1;
    }
    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}

方法二：动态规划

优点：

• 相比于递归更高效一些。时间复杂读为O(N)。
• 代码也易懂的。

缺点：

• 其实F(n)只与它相邻的前两项有关，所以没有必要保存所有子问题的解。
• 空间复杂度为O（N），创建了一个数组，但是空间复杂度可以优化为O(1)。

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
    //分析
    //1.状态：F(i)第i项的值
    //2.状态转换方程：F(i) = F(i-1)+F(i-2)
    //3.初始状态：F(0) = 0; F(1) = 1
    //4.返回: F(n)

    //我们要保存中间状态的解。就需要一个数组。
    //先创建一个数组
    int* F = new int[n+1];//注意这里的 n+1；
    //初始化为初始状态
    F[0] = 0;
    F[1] = 1;
    //状态转换方程 ：F(i) = F(i-1)+F(i-2)
    for(int i = 2; i<=n; i++){
        F[i] = F[i-1]+F[i-2];
    }
    return F[n];
    
//优化
    if(n==0) return 0;
    if(n==1) return 1;
    int fn，fn1 = 0，fn2 = 1;
    for(int i = 2; i<=n; i++){
        fn = fn1 + fn2;
        fn1 = fn2;
        fn2 = fn;
    }
    return fn;

//再优化
    int a = 0,b = 1;
    while(n--){
        b = a+b;
        a = b-a;
    }
    return a;
    }
};

3）字符串分割

牛客网_oj

方法一：递归

优点：相对于暴力遍历来说，代码时间复杂度和空间复杂度都相对

class Solution {
public:
    bool wordBreak(string s, unordered_set &dict) {
        //注意这里的被分割是指，能在词典中找到。
        // 方法：动态规划
        // 状态：
        // 子状态：前1，2，3，...,n个字符能否根据词典中的词被成功分词
        // F(i): 前i个字符能否根据词典中的词被成功分词

        // 状态递推：
        // F(i): true{j  can_break(s.size() + 1, false);

        // 初始化F(0) = true
        can_break[0] = true;

        for (int i = 1; i <= s.size(); i++){
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--){
            // F(i): true{j