SIR传染病模型及matlab代码

经典的SIR模型由克马克与麦肯德里克在1927年提出，当时的研究背景是伦敦正在流行黑死病。SIR模型将所有人（在传染性强的病毒面前，假设所有人均可能被感染，但已痊愈者将免疫）分为三类：还没被感染者，数量为$S$（单位：千人）；正感染者，数量为$I$（单位：千人）；已痊愈或死亡者，数量为$R$（单位：千人）。显然$S$、$I$、$R$均为关于时间$t$（单位：天）的函数，将其设为$S(t)$、$I(t)$、$R(t)$，显然$S(t)+I(t)+R(t)=M$，其中$M$为总人口数（单位：千人）。SIR模型构建了$S(t)$、$I(t)$、$R(t)$三者之间的动力学关系。

连续的SIR

由于人数的最小改变单位为1，是系统单位的千分之一，因此可以假设$S(t)$、$I(t)$、$R(t)$均为随时间$t$变化的连续函数。又由于可导函数可以任意精度逼近连续函数（可导函数类在连续函数类中稠密，这是微分拓扑的一个基本结果），于是可以进一步假设$S(t)$、$I(t)$、$R(t)$均为随时间$t$变化的可导函数，即$S^{\prime }(t)$、$I^{\prime }(t)$、$R^{\prime }(t)$均存在，分别表示“还没感染人数”“正感染人数”“已痊愈或死亡人数”的变化速度。

关于病毒传播的两个常识性认知如下。

（1）“还没被感染人数”$S(t)$逐渐减少。$S(t)$越大，$S(t)$下降越快；“正感染人数”$I(t)$越大，$S(t)$下降越快。而且$S(t)$越大，$I(t)$对$S(t)$下降速度的影响越明显。

（2）“已痊愈或已死亡人数”$R(t)$的变化速度和$I(t)$正相关。

根据（1）和（2），$S^{\prime }(t)$和乘积$S(t)I(t)$负相关，$R^{\prime }(t)$和$I(t)$正相关，于是有
$$\{\begin{array}{r}\frac{dS}{dt}=-\alpha S(t)I(t)\\ \frac{dR}{dt}=\beta I(t)\end{array}$$
其中$\alpha >0$，$\beta >0$分别为待定的正比例常数。再注意到
$$S(t)+I(t)+R(t)=M$$
如果假设总人口数$M$不变，对上式两边求导可得
$$S^{\prime }(t)+I^{\prime }(t)+R^{\prime }(t)=0$$
于是得到微分方程组
$$\{\begin{array}{r}{S}^{\prime }(t)=-\alpha S(t)I(t)\\ I^{\prime }(t)=\alpha S(t)I(t)-\beta I(t)\\ R^{\prime }(t)=\beta I(t)\end{array}$$
这便是经典的SIR模型，模型中含有两个系统参数$\alpha$和$\beta$，它们的现实意义分别为“病毒在人群中的强度”与“正感染者转化为已痊愈或已死亡者的比例”，当病毒未产生便以前，克认为参数$\alpha$和$\beta$均为正定常数。

离散情形

因为连续的SIR模型可以用微积分作为处理工具，所以更加便于推导性质。但是微分方程组难以求出解析解，面对这种情况，常用的解决办法是离散化模型以便数值模拟。最基本的离散化办法是“用平均变化率代替斜率”，即用
$$\frac{\Delta f(t)}{\Delta t}=\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}$$
代替$f^{\prime }(t)$。鉴于目前基本的采样时间单位为1天，则令$\Delta t=1$，于是可得
$$\frac{f(t+1)-f(t)}{1}\approx f^{\prime }(t)$$
即
$$f(t+1)\approx f(t)+f^{\prime }(t)$$
这样就得到了从$t$时刻状态估计$t+1$时刻状态的近似递推关系，这种方法被称为欧拉近似法。

利用欧拉近似法，可以将模型离散化为如下的离散模型
$$\{\begin{array}{r}S(n+1)=S(n)-\alpha S(n)I(n)\\ I(n+1)=I(n)+\alpha S(n)I(n)-\beta I(n)\\ R(n+1)=R(n)+\beta I(n)\end{array}$$
其中$n\in N^{+}$。通过代数变形，可推导数列$\{I(n)\}$的递推关系。

n=100; 
M=10000; 
E=zeros(3,n);
E(1,1)=980; 
E(2,1)=20; 
E(3,1)=0;
alpha=0.0014; 
beta=0.6126;  
for t=1:n-1
    E(1,t+1)=E(1,t)-alpha.*E(1,t).*E(2,t);
    E(2,t+1)=E(2,t)+alpha.*E(1,t).*E(2,t)-beta.*E(2,t);
    E(3,t+1)=E(3,t)+beta.*E(2,t);
end
S=E(1,:); 
I=E(2,:); 
R=E(3,:); 
hold on
plot(S,'DisplayName','S','LineWidth',2);
plot(I,'DisplayName','I','LineWidth',2);
plot(R,'DisplayName','R','LineWidth',2);
legend('健康者人数','感染者人数','免疫者人数');
xlabel('迭代次数');
ylabel('人数');
grid on;
hold off;