损失次数模型-泊松分布
损失次数模型-泊松分布
——非寿险精算的基本理论
1、定义
假设损失次数 N N N服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布，则发生 k k k次损失的概率为：
p ( N = k ) = e − λ λ k k ! p(N=k)=\frac {e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!} p(N=k)=k!e−λλk
<有的同学可能会问，为什么泊松分布是这样的。问，就是，乌龟的屁股，“龟腚（规定）”。>
公式理解：
p k p_k pk：表示的是损失次数 N N N取值为 k k k的概率。例如，损失发生次数为3的概率，可表示为： p ( N = 3 ) = e − λ λ 3 3 ! p(N=3)=\frac {e^{-\lambda}\lambda^{3}}{3!} p(N=3)=3!e−λλ3，如果 λ \lambda λ为已知的话，便可求出最终结果。
2、方差和均值
E ( N ) = D ( N ) = λ E(N)=D(N)=\lambda E(N)=D(N)=λ
<这个比较简单一点，就给你们推导一下吧。>
<首先，唤起你们远古的概率论知识。>
离散型随机变量的均值和方差公式：
<损失次数只能是1次、2次等整数，不能是1.5次等小数，因此是离散型变量。>
E ( X ) = ∑ x k p k E(X)=\sum x_kp_k E(X)=∑xkpk
D ( X ) = E ( X − E ( X ) ) 2 D(X)=E(X-E(X))^2 D(X)=E(X−E(X))2
<记忆已唤醒，开始推导吧。>
2.1、均值 E ( N ) E(N) E(N)推导
E ( N ) = ∑ N k p ( N k ) E(N)=\sum N_kp(N_k) E(N)=∑Nkp(Nk)
<把 N k = k , p ( N = k ) = e − λ λ k k ! N_k=k,p(N=k)=\frac {e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!} Nk=k,p(N=k)=k!e−λλk带入上式>
= ∑ k = 0 n k e − λ λ k k ! =\sum_{k=0}^nk\frac {e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!} =∑k=0nkk!e−λλk
<当 λ 已 知 时 e − λ 为 常 数 ， 因 此 可 以 提 到 ∑ 前 面 \lambda已知时e^{-\lambda}为常数，因此可以提到\sum前面 λ已知时e−λ为常数，因此可以提到∑前面>
= e − λ ∑ k = 0 n k k ! λ k =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^n\frac {k}{k!}\lambda^k =e−λ∑k=0nk!kλk
<阶乘定义 k ! = k ( k − 1 ) . . . 1 = k ( k − 1 ) ! 所 以 上 式 可 写 成 k!=k(k-1)...1=k(k-1)!所以上式可写成 k!=k(k−1)...1=k(k−1)!所以上式可写成>
= e − λ ∑ k = 1 n k k ( k − 1 ) ! λ k =e^{-\lambda}\sum_{k=1}^n\frac {k}{k(k-1)!}\lambda^k =e−λ∑k=1nk(k−1)!kλk
= e − λ ∑ k = 1 n 1 ( k − 1 ) ! λ k =e^{-\lambda}\sum_{k=1}^n\frac {1}{(k-1)!}\lambda^k =e−λ∑k=1n(k−1)!1λk
< λ k = λ λ k − 1 \lambda^k=\lambda\lambda^{k-1} λk=λλk−1，所以上式可写成>
= e − λ ∑ k = 1 n λ λ k − 1 ( k − 1 ) ! =e^{-\lambda}\sum_{k=1}^n\frac {\lambda\lambda^{k-1}}{(k-1)!} =e−λ∑k=1n(k−1)!λλk−1
<当 λ 已 知 时 ， 其 为 常 数 ， 因 此 可 以 提 到 ∑ 前 面 \lambda已知时，其为常数，因此可以提到\sum前面 λ已知时，其为常数，因此可以提到∑前面>
= e − λ λ ∑ k = 1 n λ k − 1 ( k − 1 ) ! =e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=1}^n\frac {\lambda^{k-1}}{(k-1)!} =e−λλ∑k=1n(k−1)!λk−1
<根据麦克劳林公式 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ， 所 以 ∑ k = 1 n λ k − 1 ( k − 1 ) ! = e λ e^x=\sum_{n=0} ^∞\frac {x^n}{n!}，所以\sum_{k=1}^n\frac {\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=e^\lambda ex=∑n=0∞n!xn，所以∑k=1n(k−1)!λk−1=eλ,，带入上式>
= e − λ λ e λ = e − λ e λ λ = e − λ + λ λ = λ =e^{-\lambda}\lambda e^\lambda=e^{-\lambda}e^\lambda\lambda=e^{-\lambda+\lambda} \lambda=\lambda =e−λλeλ=e−λeλλ=e−λ+λλ=λ
2.2、方差 D ( N ) D(N) D(N)推导
D ( N ) = E ( N − E ( N ) ) 2 D(N)=E(N-E(N))^2 D(N)=E(N−E(N))2
= E { N 2 + ( E ( N ) ) 2 − 2 N E ( N ) } =E\{N^2+(E(N))^2-2NE(N)\} =E{N2+(E(N))2−2NE(N)}
= E ( N 2 ) + E ( E ( N ) ) 2 − E ( 2 N E ( N ) ) =E(N^2)+E(E(N))^2-E(2NE(N)) =E(N2)+E(E(N))2−E(2NE(N))
<这里有个小细节， E ( N ) E(N) E(N)代表的是N的均值，它不是随机变量而是一个常量，常量的均值还等于它本身。即 E ( E ( N ) ) 2 = ( E ( N ) ) 2 E(E(N))^2=(E(N))^2 E(E(N))2=(E(N))2， E ( 2 N E ( N ) ) = 2 E ( N ) E ( N ) = 2 ( E ( N ) ) 2 E(2NE(N))=2E(N)E(N)=2(E(N))^2 E(2NE(N))=2E(N)E(N)=2(E(N))2，带入上式>
= E ( N 2 ) + ( E ( N ) ) 2 − 2 ( E ( N ) ) 2 =E(N^2)+(E(N))^2-2(E(N))^2 =E(N2)+(E(N))2−2(E(N))2
= E ( N 2 ) − ( E ( N ) ) 2 =E(N^2)-(E(N))^2 =E(N2)−(E(N))2
<求均值时，已经求得 E ( N ) = λ E(N)=\lambda E(N)=λ，所以后面只需求 E ( N 2 ) E(N^2) E(N2)即可。根据前面离散型随机变量的均值公式可得>
E ( N 2 ) = ∑ N k 2 p ( N k ) E(N^2)=\sum N_k^2p(N_k) E(N2)=∑Nk2p(Nk)
<这里大家或许会有一个疑问，为什么乘的概率是 p ( N k ) p(N_k) p(Nk)，而不是 p ( N k 2 ) p(N_k^2) p(Nk2)。大家可以看一下下表>
| X | x 1 x_1 x1 | x 2 x_2 x2 | x 3 x_3 x3 |
|---|---|---|---|
| P | p 1 p_1 p1 | p 2 p_2 p2 | p 3 p_3 p3 |
| X 2 X^2 X2 | x 1 2 x_1^2 x12 | x 2 2 x_2^2 x22 | x 3 2 x_3^2 x32 |
<虽然随机变量由 X X X变成了 X 2 X^2 X2，但其对应的概率值并没有改变，都是 P P P，这就是为什么可以直接乘概率 p ( N k ) p(N_k) p(Nk)的原因。>
<承接上面的推导公式，因为 N = k N=k N=k，所以>
= ∑ k = 0 ∞ k 2 e − λ λ k k ! = e − λ ∑ k = 1 ∞ k k λ k k ( k − 1 ) ! =\sum_{k=0}^∞k^2\frac {e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^∞kk\frac {\lambda^{k}}{k(k-1)!} =∑k=0∞k2k!e−λλk=e−λ∑k=1∞kkk(k−1)!λk
= e − λ ∑ k = 1 ∞ k k λ k k ( k − 1 ) ! = e − λ ∑ k = 1 ∞ k λ k ( k − 1 ) ! =e^{-\lambda}\sum_{k=1}^∞kk\frac {\lambda^{k}}{k(k-1)!}=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^∞k\frac {\lambda^{k}}{(k-1)!} =e−λ∑k=1∞kkk(k−1)!λk=e−λ∑k=1∞k(k−1)!λk
= e − λ ∑ k = 1 ∞ [ ( k − 1 ) + 1 ] λ k ( k − 1 ) ! =e^{-\lambda}\sum_{k=1}^∞[(k-1)+1]\frac {\lambda^{k}}{(k-1)!} =e−λ∑k=1∞[(k−1)+1](k−1)!λk
= e − λ [ ∑ k = 1 ∞ ( k − 1 ) λ k ( k − 1 ) ! + ∑ k = 1 ∞ λ k ( k − 1 ) ! ] =e^{-\lambda}[\sum_{k=1}^∞(k-1)\frac {\lambda^{k}}{(k-1)!}+\sum_{k=1}^∞\frac {\lambda^{k}}{(k-1)!}] =e−λ[∑k=1∞(k−1)(k−1)!λk+∑k=1∞(k−1)!λk]
= e − λ [ ∑ k = 2 ∞ λ k ( k − 2 ) ! + ∑ k = 1 ∞ λ k ( k − 1 ) ! ] =e^{-\lambda}[\sum_{k=2}^∞\frac {\lambda^{k}}{(k-2)!}+\sum_{k=1}^∞\frac {\lambda^{k}}{(k-1)!}] =e−λ[∑k=2∞(k−2)!λk+∑k=1∞(k−1)!λk]
= e − λ [ λ 2 ∑ k = 2 ∞ λ k − 2 ( k − 2 ) ! + λ ∑ k = 1 ∞ λ k − 1 ( k − 1 ) ! ] =e^{-\lambda}[\lambda^{2}\sum_{k=2}^∞\frac {\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda\sum_{k=1}^∞\frac {\lambda^{k-1}}{(k-1)!}] =e−λ[λ2∑k=2∞(k−2)!λk−2+λ∑k=1∞(k−1)!λk−1]
= e − λ [ λ 2 e λ + λ e λ ] = λ 2 + λ =e^{-\lambda}[\lambda^{2}e^{\lambda}+\lambda e^{\lambda}]=\lambda^{2}+\lambda =e−λ[λ2eλ+λeλ]=λ2+λ
<在求解 E ( N ) E(N) E(N)时，已经回顾了概率论和微积分的一些知识点，所以在推导 D ( N ) D(N) D(N)时，并没有列出具体的说明。>
<现在 E ( N 2 ) E(N^2) E(N2)的值也推导出来了，根据前面对 D ( N ) D(N) D(N)的推导，可以得到>
D ( N ) = E ( N 2 ) − ( E ( N ) ) 2 = λ 2 + λ − λ 2 = λ D(N)=E(N^2)-(E(N))^2=\lambda^{2}+\lambda-\lambda^{2}=\lambda D(N)=E(N2)−(E(N))2=λ2+λ−λ2=λ
3、性质
- 可加性
如果 N 1 N_1 N1和 N 2 N_2 N2分别是参数为 λ 1 \lambda_1 λ1和 λ 2 \lambda_2 λ2的泊松随机变量，则 N = N 1 + N 2 N=N_1+N_2 N=N1+N2是参数为 λ 1 + λ 2 \lambda_1+\lambda_2 λ1+λ2的泊松随机变量。
- 可分解性<相当于可加性的反向>
如果两种保险责任的总索赔次数 N N N服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布，而两种保险责任发生的概率分别为 a 1 和 a 2 a_1和a_2 a1和a2，且 a 1 + a 2 = 1 a_1+a_2=1 a1+a2=1，则两种保险责任的索赔次数 N 1 N_1 N1和 N 2 N_2 N2是相互独立的泊松随机变量，参数分别为 λ a 1 + λ a 2 \lambda a_1+\lambda a_2 λa1+λa2。
-
当参数 λ \lambda λ很小时，泊松分布可以近似二项分布。
-
如果保险事故发生的时间间隔服从指数分布，则在一个固定的时间区间内发生保险事故次数服从泊松分布。
-
当参数 λ \lambda λ较大时，泊松分布可以用正态分布近似。
<个人比较懒，并没有仔细研究泊松分布性质的证明问题。从实务角度来看，仅仅记得有这些性质即可。哈哈哈~~~>
4、软件实操
<泊松分布性质的证明是比较枯燥的，但是我们用软件去观察它的这些性质，将会是一件非常有趣的事情。>
4.1、 λ \lambda λ的大小对泊松分布图像的影响
<直接上python代码>
import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import math
def poissonpmf(lamda,sample):
'''
Parameters
----------
lamda : int
泊松分布的均值.
sample : int
泊松分布的样本数量.
Returns
-------
k : int
泊松分布对应的k值.
probability : float
泊松分布取得该值时的概率.
'''
lamda = lamda
sample = sample
k = np.arange(sample)#会返回一个0至sample-1的连续整数列表
probability = stats.poisson.pmf(k,mu=lamda)#当给定均值时，可以计算k值对应的概率
return k,probability
lamda=5
sample=40
k,probability=poissonpmf(lamda=lamda, sample=sample)#调用自定义的泊松分布函数
plt.subplot(1,1,1)#定义图片的布局，针对一张图片来说可以省略该代码
plt.plot(k,probability,"r",label="lamda="+str(lamda))#画曲线图，并定义曲线为红色"r"，并显示图例label（后面是图例名称）
plt.plot(k,probability,"ro")#画散点图，并定义散点为红色
plt.title("Poisson distribution")#设置图片标题
plt.xlabel("k")#设置图片x轴说明
plt.ylabel("probability")#设置图片y轴说明
plt.legend(loc=0)#将图例放在合适的位置，让系统自动查找
lamda=10
sample=40
k,probability=poissonpmf(lamda=lamda, sample=sample)
plt.subplot(1,1,1)
plt.plot(k,probability,"b",label="lamda="+str(lamda))#蓝色曲线（"b"）
plt.plot(k,probability,"bo")#蓝色散点（"bo"）
plt.title("Poisson distribution")
plt.xlabel("k")
plt.ylabel("probability")
plt.legend(loc=0)
lamda=20
sample=40
k,probability=poissonpmf(lamda=lamda, sample=sample)
plt.subplot(1,1,1)
plt.plot(k,probability,"g",label="lamda="+str(lamda))#绿色曲线（"g"）
plt.plot(k,probability,"go")#绿色散点（"go"）
plt.title("Poisson distribution")
plt.xlabel("k")
plt.ylabel("probability")
plt.legend(loc=0)
<针对代码的含义这里就不详细说明了，有兴趣的可以直接查看代码后面的注释>
<输出结果>
当 λ \lambda λ越大时，泊松分布的峰值越小，图像变得越对称。
<有的同学可能看不懂图片，这里再解释一下吧。图片横轴表示的是损失次数 N N N，纵轴表示的是该损失次数下对应的泊松分布的概率值>
4.2、泊松分布与正态分布
<需要先构建一个正态分布的概率密度函数，关于正态分布的问题这里就不详细展开了，主要是看一下随着 λ \lambda λ的变化，泊松分布和正态分布之间的关系>
def normalpdf(mu,sigma,simple):
"""
Parameters
----------
mu : float
正态分布的均值.
sigma : float
正态分布标准差.
simple : int
生成的样本数量.
Returns
-------
x : float
x轴值.
probability : float
取值为x轴值时，对应的概率密度函数值，相当于离散变量的概率.
"""
mu = mu
sigma = sigma
simple = simple
x = np.arange(sample)
probability=np.exp(-(x-mu)**2/(2*sigma**2))/(math.sqrt(2*math.pi)*sigma)#正态分布的概率密度函数
return x,probability
<画图做比较>
lamda=5#获取不同lamda参数的图像，直接修改它即可
sample=lamda*2
k,probability_po=poissonpmf(lamda,sample)
k,probability_no=normalpdf(lamda,math.sqrt(lamda),sample)
plt.plot(k,probability_no,"r",label="normal")
plt.plot(k,probability_po,"g--",label="poisson")
plt.title("Poisson and Normal distribution" + "(lamda="+str(lamda)+")")#设置图片标题
plt.xlabel("x")#设置图片x轴说明
plt.ylabel("probability")#设置图片y轴说明
plt.legend(loc=0)#将图例放在合适的位置，让系统自动查找
<运行结果>
通过图片可以看出，随着 λ \lambda λ的逐渐变大，泊松分布和正态分布逐渐重合。
<看到这里，大家可能会疑惑，为什么其他性质没有用图片展现出来，因为我发现其他性质用图片并不好展现，或者是因为我还没找到方法。~~~>
—End—
*** 参考资料 ***
1、《非寿险精算学》孟生旺著
2、泊松分布的期望和方差_绿荫下的陪伴.的博客-CSDN博客_泊松分布的期望和方差
3、十个常见常用的麦克劳林公式_骄傲的张起灵的博客-CSDN博客_麦克劳林公式
4、Python计算泊松分布教程_梦想画家的博客-CSDN博客_python泊松分布
5、泊松分布_skysenlin的博客-CSDN博客_泊松分布
6、python使用matplotlib绘图_longwilll的博客-CSDN博客_python matplotlib