张量（三）：张量鲁棒主成分分析（TRPCA）

 

基于张量分解，张量鲁棒主成分分析法（TRPCA）是对鲁棒主成分分析（RPCA）的高阶扩展，在数据去噪等领域拥有广泛应用。本篇将对TRPCA以及其最新的改进模型做出介绍。

目录

一、RPCA

二、TRPCA

三、TRPCA-TNN

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一、RPCA

在实际应用中，很多数据矩阵往往是低秩或近似低秩的。理想状态下，数据矩阵的行与行之间应当具有极强的相似性，整个矩阵应当是低秩的。但由于数据噪声的存在，破坏了这种低秩性。因此，为了恢复矩阵的低秩结构，可将矩阵D分解为两个矩阵之和，即低秩矩阵A和稀疏矩阵E，D=A+E。低秩矩阵为分离了噪声的真实矩阵，稀疏矩阵为分离出的噪声矩阵。于是，RPCA问题可转化为如下的凸优化问题：

其中表示矩阵的核范数，表示矩阵数据的绝对值之和，是一个正的权重参数。该式的意思为在保证D=A+E的条件下，使A的核范数与E的L1范数之和最小。当实现最小时，则去噪的效果最优。

对凸优化问题的求解方法目前主要有迭代阈值法、加速近端梯度法、对偶法等，最常用的是增广拉格朗日乘子法（交替方向乘子法，ADMM）。其拉格朗日函数为：

具体算法流程如下：

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二、TRPCA

Tensor Robust Principal Component（TRPCA）是对RPCA的高阶扩展，旨在从噪声数据中还原出真实的低秩张量。下图展示了TRPCA的过程：

同样，TRPCA可转化为一个凸优化问题，如下式：

 

该优化问题也使用ADMM去计算。

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三、TRPCA-TNN

目前对TRPCA的改进方案主要集中于对低秩矩阵的核范数的全新定义。TRPCA-TNN的核心在于定义了新的核范数tensor nuclear norm（TNN）。对一个张量，按t-SVD分解得，TNN定义为：

其中定义为A的谱范数，bcirc()为块循环矩阵，详见张量（二）。经过公式推导可得换算关系：

由公式可知，块循环矩阵和傅里叶变换后的A均通过A的切片捕捉到了A的空间信息，这支持了核范数的定义。下图表明了TNN与张量其他相关概念的关系：

由图可知，张量算子范数是算子范数在高阶领域的扩展。张量谱范数是由张量算子范数通过张量-张量积导出。张量核范数定义为张量谱范数的对偶范数。张量平均范数是张量核范数的凸包络。

TRPCA-TNN的ADMM计算算法如下：

针对多幅视频图像应用TRPCA-TNN进行去噪，并以RPCA，SNN作为对比，结果如下：

TRPCA的效果肉眼可见的好，以PSNR作为评价指标，定义为：

通常PSNR作为去噪效果的评价指标，去噪结果可视化如下： 

相比之下，TRPCA的去噪效果最好，运行耗时最短。

了解更多细节可参考：《Tensor Robust Principal Component Analysis with A New Tensor Nuclear Norm》