实数在计算机中的表示

之前在学习计算机实数在计算机中的表示时，有点糊涂，最近重新学习，明白了一些，在此记录：
众所周知，计算机中是没有小数点的，因此就要规定实数的表示方式，目前的方式有以下两种：
若无特殊说明，所有数字均用补码表示。

1.定点表示

以下均假设机器字长为n+1位

分为整数定点和小数定点。整数定点把小数点看成在最后，相当于整数表示了，其范围是$[-2^n,2^n-1]$。
而小数定点，则是把小数点看成在最高位（即符号位）后面，因而只能表示纯小数，其范围为
$[-1,-2^{-n}]$（负数部分）,$[2^{-n},1-2^{-n}]$（正数部分）与0

对范围的解释：
正数部分的范围容易理解（符号为0，数位分别为：只有最低位为1，全为1）
至于负数部分：-1表示的是符号位为1，数位也全部为1。按照补码转原码的方式，转换后的数看似为-0，实际上在转换过程中发生了退位，所以为-1。
因此，负数部分比正数部分多了一个-1.
注意：所有范围看起来是连续的，实际上是离散的。只能表示$2^n$个数

2.浮点表示

浮点数用阶码+尾数的方式表示。感觉就是上面两种定点机的结合。
若符号为s，阶码表示的数为十进制的x，尾数为y，则此数表示为(-1)^s * 2^x * y。
由上面定点机的范围，我们可以得到阶码m+1位（包含1位阶符），尾数n+1位（1位数符，也是整个数字的符号）的浮点机的表示范围是
$[-2^{2^m-1},-2^{-2^m}\ast 2^{-n}]$，$[2^{-2^m}\ast 2^{-n},2^{2^m-1}\ast (1-2^{-n})]$与0
阶码绝对值小于-2^m的数不能正常表示，称为“下溢”，当成机器零处理。
绝对值过大的数也无法正常表示，称为“上溢”。
不难看出：阶码长度决定数据范围，尾数长度决定精度。