线段树Segment Tree(python代码实现)

线段树

        线段树是一种二叉树(平衡二叉树),也被归类为二叉搜索树(广义上)。它是一种用于对区间修改、维护和查询的工具,可以优化时间复杂度至log级别。

基本思想

        把一个大区间划分为两个小区间,然后把两个小区间分别划分为两个更小的区间,不断这样划分下去,直到区间内只有一个数据为止。 每个区间存放一个或者多个数据(比如:区间的和,区间的最大值,区间的最小值),以树的形式存放这些数据,则构成了一颗二叉树。 这种存放区间数据的二叉树就是线段树。

线段树Segment Tree(python代码实现)_第1张图片

线段树Segment Tree(python代码实现)_第2张图片

适合场景

  • 满足区间加法:区间的和,区间的差。
  • 满足区间乘法:区间的乘积。
  • 满足区间最值:区间最大值,区间最小值

不适合场景

  • 区间的众数
  • 区间最长连续问题
  • 最长不下降问题

线段树的维护:小区间的值更新大区间的值。

线段树主要分为三步:构建线段树,更新线段树(单点修改、区间修改),区间查询。

1、建树

存储方式:堆

 对于下标为i的结点,其左孩子的下标为2*i,右孩子的下标为2*i+1,父结点的下标为i//2(//表示整除)。

线段树Segment Tree(python代码实现)_第3张图片

2、单点修改/区间修改

1)单点修改

        ·如果要查询的区间完全覆盖当前区间,就直接返回当前区间的值;

        ·如果查询区间和左孩子有交集,则搜索左孩子;

        ·如果查询区间和右孩子有交集,就搜索右孩子;

        ·最后合并处理两边查询的数据。

线段树Segment Tree(python代码实现)_第4张图片

   
2)区间修改(需要使用lazy标记)

        ·如果要修改的区间完全覆盖当前区间,则直接更新这个区间,打上lazy标记;

        ·如果没有完全覆盖,且当前区间有lazy标记,先下传lazy标记到子区间,再清除当前区间的lazy标记;
        ·如果修改区间和左孩子有交集,就搜索左孩子;

        ·如果修改区间和右孩子有交集,就搜索右孩子;

        ·最后将当前区间的值更新。

lazy标记:将此区间标记,表示这个区间的值已经更新,但是它的子区间却没有更新,更新的信息就是标记保存的值。

线段树Segment Tree(python代码实现)_第5张图片

3、区间查询

        ·如果要查询的区间完全覆盖当前区间,就直接返回当前区间的值;
        ·如果没有被完全包含,则下传lazy标记;
        ·如果查询区间和左孩子有交集,搜索左孩子;
        ·如果查询区间和右孩子有交集,搜索右孩子;
        ·最后合并处理两边查询的数据。

线段树Segment Tree(python代码实现)_第6张图片

python代码

# 构建树
def build_tree(arr, tree, node, start, end):
    '''
    :param arr: 数据列表(数组)
    :param tree: 树结构(数组)
    :param node: 结点
    :param start: 数据数组的起始位置
    :param end: 数据数组的结束位置
    '''
    #print(node, start, end)
    # 递归出口(为叶子结点时,已经递归到最底部)
    if start == end:
        tree[node] = arr[start]
    else:
        mid = (start+end)//2  # 区间中间位置
        l_node = 2*node+1  # 左孩子结点
        r_node = 2*node+2  # 右孩子结点

        build_tree(arr, tree, l_node, start, mid)  # 递归计算左结点,(start, mid)左区间
        build_tree(arr, tree, r_node, mid+1, end)  # 递归计算右结点,(mid+1, end)右区间
        tree[node] = tree[l_node] + tree[r_node]  # 当前结点的值为左结点与右结点的和

# 更新树(单点修改)
def update_tree(arr, tree, node, start, end, index, value):
    '''
    :param index: 待更新的结点位置
    :param value: 待更新的值
    '''
    # 递归出口
    if start == end:
        arr[index] = value
        tree[node] = value
    else:
        mid = (start+end)//2  # 区间的中间位置(用来确定左右区间)
        l_node = 2 * node + 1  # 左孩子结点
        r_node = 2 * node + 2  # 右孩子结点
        # 左区间
        if (index >= start) and (index <= mid):
            update_tree(arr, tree, l_node, start, mid, index, value)
        # 右区间
        else:
            update_tree(arr, tree, r_node, mid+1, end, index, value)
        # 更新结点的值
        tree[node] = tree[l_node] + tree[r_node]

# 区间查询
def query_tree(arr, tree, node, start, end, L, R):
    '''
    :param L: 查询区间的起始位置
    :param R: 查询区间的结束位置
    :return: 返回查询区间内数值的和
    '''
    #print("start = {}".format(start))
    #print("end = {}".format(end))
    # 极端情况,不在区间范围之内
    if R < start or L > end:
        return 0
    # 到达叶子结点(递归出口)
    elif start == end:
        return tree[node]
    # 当整个右子树区间整个包含在查询区间内,直接返回当前结点的值(优化,防止做无用的查询操作)
    elif L <= start and end <= R:  # 剪枝
        return tree[node]
    else:
        mid = (start+end)//2  # 区间的中间位置
        l_node = 2 * node + 1  # 左孩子结点
        r_node = 2 * node + 2  # 右孩子结点
        # 左区间查询
        sum_l = query_tree(arr, tree, l_node, start, mid, L, R)
        # 右区间查询
        sum_r = query_tree(arr, tree, r_node, mid+1, end, L, R)
        return sum_l + sum_r  # 返回区间结点的和


if __name__=="__main__":
    print("--------构建---------------")
    arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17]  # 数据
    max_len = 100  # 设置线段树的大小
    tree = [0] * max_len  # 线段树
    build_tree(arr, tree, 0, 0, len(arr)-1)
    for i in range(15):
        print("tree[{}] = {}".format(i, tree[i]))

    print("--------更新---------------")
    index = 5  # 位置
    value = 1  # 更新值
    update_tree(arr, tree, 0, 0, len(arr)-1, index, value)
    for i in range(15):
        print("tree[{}] = {}".format(i, tree[i]))

    print("--------查询---------------")
    L = 3
    R = 6
    res = query_tree(arr, tree, 0, 0, len(arr)-1, L, R)
    print(res)

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