节点中心性：度中心性、特征向量中心性、Katz中心性、介数中心性

    在图中，节点的中心性(Centrality)用于衡量节点在图中的重要性。接下来，以下面这张图的节点为例，介绍一些常用的节点中心性及其计算过程。

一、度中心性(Degree Centrality)

    如果有许多其他节点连接到某个节点，那么后者可以被认为是重要的。因此，可以基于一个节点的度测量它的中心性。更具体地说，对于节点$v_i$，其度中心性可以定义为：
$$c_d(v_i)=d(v_i)=\sum _{j=1}^N{A}_{i,j}$$
    由上面的公式可以知道，节点$v_1$与$v_5$的度中心性都是3，而节点$v_2$、$v_3$和$v_4$的度中心性都是2。

二、特征向量中心性(Eigenvector Centrality)

    度中心性认为与多个节点相邻的节点是重要的，且认为所有邻居的贡献度是一样的。然而，这些相邻节点本身的重要性是不同的，因此它们对中心节点的影响不同。给定一个节点$v_i$，特征向量中心性用它的相邻节点的中心性来定义$v_i$的中心性：
$$c_e(v_i)=\frac{1}{\lambda }\sum _{j=1}^N{A}_{i,j}\cdot c_e(v_j)$$    也可以表达为矩阵的形式：
$$c_e(v_i)=\frac{1}{\lambda }A\cdot c_e$$    式中，$c_e\in R^N$是一个包含所有节点的特征向量中心性的向量，这个式子也可以表达为：
$$\lambda \cdot c_e(v_i)=A\cdot c_e$$    显然，$c_e$是矩阵的特征向量，$\lambda$是其对应的特征值。一个邻接矩阵$A$存在多对特征向量和特征值。中心性的值通常为正数，所以选择中心性需要考虑所有元素均为正数的特征向量。根据Perron-Frobenius定理，一个元素全为正的实方阵具有唯一的最大特征值，其对应的特征向量的元素全为正。因此可以选择最大的特征值$\lambda$，将它的相应的特征向量作为中心性向量。
    通过上面的公式进行计算，可以算出示例图中最大的特征值是2.481，对应的特征向量[1, 0.675, 0.675, 0.806, 1]。因此，$v_1,v_2,v_3,v_4,v_5$的特征向量中心性分别是1,0.675,0.675,0.806,1。注意$v_2$、$v_3$和$v_4$的度都是2，但是$v_4$的特征向量中心性比另外两个节点的都要高，因为它和$v_1$、$v_5$两个高特征向量中心性的节点直接相连。

三、Katz中心性(Katz Centrality)

    Katz中心性是特征向量中心性的一个变体，它不仅考虑了邻居的中心性，而且包含了一个常数来考虑中心节点本身。具体来说，节点$v_i$的Katz中心性可以定义为：
$$c_k(v_i)=\alpha \sum _{j=1}^N{A}_{i,j}{c}_k(v_j)+\beta$$    式中，$\beta$是一个常数。一个图中所有节点的Katz中心性可以用矩阵形式表示为：
$$\begin{gathered} c_k=\alpha A{c}_k+\beta \\ (I-\alpha \cdot A)c_k=\beta \end{gathered}$$    式中，$c_k\in R^N$表示所有节点的Katz中心性的向量；$\beta$表示一个包含所有节点的常数项$\beta$的向量；$I$表示单位矩阵。值得注意的是，如果令$\alpha =\frac{1}{{\lambda }_{max}}$和$\beta =0$，那么Katz中心性等价于特征向量中心性，其中${\lambda }_{max}$是邻接矩阵$A$的最大特征值。$\alpha$的选择对于Katz中心性非常关键：大的$\alpha$值可能使矩阵$I-\alpha \cdot A$变成病态矩阵，而小的$\alpha$可能使中心性变得没有意义，因为它总是给所有节点分配非常相似的分数。在实践中，经常令$\alpha <\frac{1}{{\lambda }_{max}}$，这就保证了矩阵$I-\alpha \cdot A$的可逆性，那么$c_k$可按如下方式计算：
$$c_k=(I-\alpha \cdot A{)}^{-1}\beta$$    令$\beta =1,\alpha =\frac{1}{5}$，经过计算可得示例图中节点$v_1$和$v_5$的Katz中心性都是2.16，$v_2$和$v_3$的Katz中心性是1.79，$v_4$的Katz中心性是1.87。

四、介数中心性(Betweeness Centrality)

    前面提到的几种中心性基于和相邻节点的连接。另一种度量节点重要性的方法是检查它是否在图中处于重要位置。具体来说，如果有许多路通过同一个节点，那么该节点处于图中的一个重要位置。节点$v_i$的介数中心性的定义如下：
$$c_b(v_i)=\sum _{v_s\ne v_i\ne v_t}\frac{{\sigma }_{st}(v_i)}{{\sigma }_{st}}$$    式中，${\sigma }_{st}$表示所有从节点$v_s$到节点$v_t$的最短路的数目（此处不区分$v_s$与$v_t$）；${\sigma }_{st}(v_i)$表示这些路中经过节点$v_i$的路的数目。为了计算介数中心性，需要对所有可能的节点对求和。因此，介数中心性的值会随着图的增大而增大。为了使介数中心性在不同的图中具有可比性，需要对它进行归一化（normalization）。一种有效的方法是将所有节点的中心性除以其中的最大值。由上面介数中心性的公式可知，当任意一对节点之间的最短路都通过节点$v_i$时，介数中心性达到最大值，即$\frac{{\sigma }_{st}(v_i)}{{\sigma }_{st}}=1,\forall v_s\ne v_i\ne v_t$。在一个无向图中，共有$\frac{(N-1)(N-2)}{2}$个不包含节点$v_i$的节点对，所以介数中心性的最大值是$\frac{(N-1)(N-2)}{2}$。所以$v_i$归一化后的介数中心性$c_{nb}(v_i)$可以定义为：
$$c_{n}b(v_i)=\frac{2\times {\sum }_{v_s\ne v_i\ne v_t}\frac{{\sigma }_{st}(v_i)}{{\sigma }_{st}}}{(N-1)(N-2)}$$    在示例图中，节点$v_1$和$v_5$的介数中心性是$\frac{2}{3}$，而它们归一化后的中心性是$\frac{1}{4}$。节点$v_2$和$v_3$的介数中心性是$\frac{1}{2}$，而它们归一化后的中心性是$\frac{1}{12}$。节点$v_4$的介数中心性和归一化的中心性均为0。