极小化极大（Minimax）算法原理

1. 前言

极小化极大算法是基于决策树和搜索的智能系统中的典型算法，可用于指导井字棋、黑白棋、五子棋等经典完全信息零和博弈。虽在学生时代学习过极小化极大算法，但时过境迁，思量该算法的来龙去脉已然如雾里探花水中望月。近来自学人工智能算法，恰好又一次接触到了该算法，也算与其有缘，理应将其悉数记下。下文将以井字棋为例详细说明该算法原理。

2. 博弈树

2.1 井字棋

井字棋(Tic-Tac-Toe)是由两个玩家轮流在3X3的格子上标记自己符号（圈或者叉）的游戏，最先以横、直、斜连成一线则获胜，如下图所示。

2.2 博弈树构建

以完全信息零和游戏“井字棋”为例，将每一个局面均视为一棵树上一个节点，每一个动作视为树上的边，因此“井字棋”游戏可以被完全展开成一棵树。一局游戏的发展过程是博弈树从根节点到叶结点的一条路径。井字棋的博弈树最高有9层，如下图所示（井字棋博弈树前3层）。

3. 估值函数

估值函数使用来给每一个局面给出一个估值，用判断博弈树中当前局面的形势。在传统的棋类游戏智能系统中，估值函数一般是人为指定的，对棋类游戏智能的水平有决定性作用。
估值函数的形式不是固定的，它的输入一般是一个局面的信息，输出是一个表明相应局面好坏程度的数值。为了说明极小化极大算法，本文中规定井字棋的估值函数为：玩家X还存在可能性的行、列、斜线数减去玩家O还存在可能性的行、列、斜线数。如图3所示，玩家X还存在可能性的行、列、斜线数为6，玩家O还存在可能性的行、列、斜线数为3，因此估值函数在图3局面下的输出为3。

4. 极小化极大算法

4.1 算法原理

在零和博弈中，玩家均会在可选的选项中选择将其N步后优势最大化或者令对手优势最小化的选择。将双方决策过程视作一颗决策树，若决策树某一层均为己方决策依据状态（即接下来是己方进行动作），则己方必定会选择使得己方收益最大化的路径，将该层称为MAX层。若决策树某一层均为对手决策依据状态（即接下来是对手进行动作），则对手必定会选择使得己方收益最小化的路径，将该层成为MIN层。由此，一个极小化极大决策树将包含max节点（MAX层中的节点）、min节点（MIN层中的节点）和终止节点（博弈终止状态节点或N步时的状态节点）。每个节点对应的预期收益成为该节点的minimax值。
对于终止结点， minimax值等于直接对局面的估值。对于max结点，由于max节点所选择的动作将会由己方给定，因此选择minimax值最大的子结点的值作为max结点的值。对于min结点，则选择minimax值最小的子结点的值作为min结点的值。

极小化极大算法过程可描述如下：

1. 构建决策树；
2. 将评估函数应用于叶子结点；
3. 自底向上计算每个结点的minimax值；
4. 从根结点选择minimax值最大的分支，作为行动策略。

minimax计算流程如下：

1. 如果节点是终止节点：应用估值函数求值；
2. 如果节点是max节点：找到每个子节点的值，将其中最大的子节点值作为该节点的值；
3. 如果节点时min节点：找到每个子节点的值，将其中最小的子节点值作为该节点的值。

4.2 算法过程

如图4所示，假设玩家X可在井字棋游戏中向下思考3步，则其必定会选择3步后优势最大的落子策略。构建3层决策树如下，对于每一个叶结点，可运用上述估值函数得到叶结点对应局面的估值。
由于叶结点所在层的上一层到叶结点层的动作由玩家X作出，因此叶结点层上一层为MAX层。玩家X会选择使得己方局面最佳的落子方法，因此MAX层的节点的minimax值应该为下一层中最大的值。
同时，MIN层到MAX层的动作由玩家X的对手作出，因此MIN层的节点的minimax值应该为下一层中的最小值。

对于每一个叶结点，其minimax值可根据估值函数得出。对应每一个max节点或min节点，其值可根据上述规则得出。由此，可以得到整个决策树。
作出决策的目的是是的己方N步后的局面最佳，因此，从根结点选择minimax值最大的分支，作为行动策略。

5. 后记

最小化最大算法构造决策树，并自底向上计算每个节点的minimax值，最终从根结点选择minimax值最大的分支，作为行动策略。
当一个零和博弈双方每一步可选动作数量较多时，决策树会变得非常庞大，因此构造决策树，并对其进行遍历，求取每个minimax值将会非常耗时。
在决策树的构建与搜索过程中，存在一些不必要搜索的节点。如果不展开不必要搜索的节点，将会极大的节省搜索时间。
下文将讲解极小化极大算法的优化版本——AlphaBeta剪枝算法。
后文：Alpha-Beta剪枝算法原理