数字几何处理（2020-05-15）

Voronoi Diagram

遗留问题

上篇遗留问题： Optimal Delaunay Triangulation(ODT)

需要ODT的原因

• Delaunay Triangulation可以使最小角最大化，但不能保证最小角不会非常小，如果Delaunay Triangulation的最小角很小，那么其他的最小角就更小了。
• Optimal Delaunay Triangulation(ODT)可以认为是一个算法，给一个domain和点集，分布点的位置和连接关系，得到一个三角化，初始得到的三角化可能和差，所以需要优化，直到在某种意义上，这个三角化是最优的。
• 改善优化方式：做Delaunay Triangulation，不会改变点的位置，可能角度还是很差，所以希望可以移动顶点的位置，来改善三角化的质量。
• Delaunay Triangulation可以做 flip，每做一次flip，都会减少一个四面体的体积。
• 最终可以转化为优化/最小化下面这个函数。

目标/能量函数

• $u(x)$是3D上的抛物面 $z=x^2+y^2$。
• $\hat{u}(x)$ 是2D上的网格lift到3D上的三角化。
  所以$\hat{u}(x)$总是在$u(x)$的上方的，所以可以去掉下图中第一项的绝对值。
• 第二项前面的积分其实是分片线性三角形与底面构成的图形的体积，如下下图红色箭头所示。
  所以minmize这个函数其实是在是这个积分值减小，也就是使这部分体积减小。

高斯赛德尔迭代

• 使用高斯赛德尔迭代优化：每次优化部分变量。将当前点 $p_i$ 作为优化变量，每次只优化一个点的位置，做法是求第3项的梯度，使梯度为0。
• ？？？ 4到5不理解/(ㄒoㄒ)/~~
  
  下图为$\hat{u}(x)$相关的体积示意图。
  
  推导也看不懂，栓Q/(ㄒoㄒ)/~~

点的更新的位置的公式：

T_j是点p₃相关的三角形，c_j是该三角形外接圆的圆心。

算法步骤

1. 更新顶点位置。
2. 顶点位置固定后，flip更新顶点的连接关系。
3. 高斯赛德尔迭代更新所有顶点位置。
4. 再做flip转化为delaunay triangulation。
5. 交替迭代直到收敛。

Voronoi Diagram介绍

引入

• 邮局问题
  给出黄色的点，找出离黄色的点最近的黑色的点。
• 基础想法
  将黑色的点所在的区域，针对n个黑点，划分为n个子区域，在每个区域中的点都到该区域的那个黑点的距离最近。
  在这个条件下，只需要看黄色的点落在哪个子区域中即可找到距离最近的黑点。
  
• 利用垂直平分线划分两个黑点的区域。
  

Voronoi cell

• 点$p_i$ 的 Voronoi cell VP(i)
  

• $p_i$的Voronoi cell是$p_i$和所有其他点的半平面的交，半平面指两点的连线的垂直平分线划分的两个平面。

• Voronoi cell是非空的，并且是凸的。
  

性质

• Lemma1
  • 对于VV( P)中的点，至少是三条边的交点，且至少有3个相邻region。
  • 对于VV( P)中的点v，是任意三个中心点连接形成的三角形的外接圆C(v)的圆心。
  • 外接圆的内部C(v)^。与点集P的交集为空集。

与Delaunay triangulation 的对偶性

对于voronoi diagram的点集中的点，如果两点之间有边，则将两点连接产生一条连线，完成后生成一个三角化，该三角化是一个Delaunay triangulation。

CVT

Centroidal Voronoi Tessellation

问题

构造的Delaunay triangulation的最小角可能很小，三角化不均匀。
希望得到一个比较均匀的划分。

定义

• 定义：给定一个点集，算出其voronoi diagram，得到voronoi cell，算出每个cell的质心，若该点集的每个点都与其cell的质心重合，则此voronoi diagram就是一个CVT，CVT的cell会更均匀。

• 问题：如何求多边形的质心？如果每个点带密度怎么办呢？
  

目标函数（Energy Function）

• $p_i$：顶点的位置
• $V_i$：voronoi 划分，可以由顶点计算出来。
  

Lloyd iteration

目标函数的优化：
1. 给定$p_i$，构造voronoi划分
2. 计算每个voronoi cell的质心，将顶点$p_i$移动到质心（此时目标函数最小化了）。
3. 每次加入一个点，重复前两个步骤直到收敛（顶点与质心几乎重合）。

Variational shape approximation(VSA)(待完善)

将三维模型分成一片一片的，每一片几乎是一个平面。
给定每个region $R_i$，计算出$n_i$