一个三维装箱问题的搜索树算法

三维装箱问题的业务场景可以参考电商业务中的纸箱推荐问题. 文中考虑了如下问题.

输入 : 长宽高为$(L,W,H)$的箱子和$n$个物品, 其长宽高为$(l_i,w_i,h_i)$, $i=1,2,\dots ,n$. 假设物品是长方体, 长度不可变(没有弹性). 装箱时可以对商品进行90度旋转, 但不能倾斜.
输出 : 判断所有物品是否能装入箱子.

本文提供一个基于搜索树的精确算法. 基本思想是把三维装箱问题归约(Reduce)到一个有向无环图(Directed Acyclic Graph)上的问题. 算法搜索到一个符合约束条件的有向无环图则返回true, 否则返回false.

物品的位置

如下图所示, 考虑任意一个物品(或者箱子), 我们可以用$a$, $b$两点的三维坐标描述其位置和大小. 设$a=(x_a,y_a,z_a)$, 那么$b=(x_a+L,y_a+W,z_a+H)$, 其中$L,W,H$是物品的长宽高. 为了方便描述, 我们用$a$点的坐标表示物品的位置.

有向无环图

假设所有物品能够被装入箱子中. 此时我们考虑一种可行的摆放方式. 对两个物品$i\ne j$, 分别考虑$x,y,z$轴方向物品之间的相对位置关系.

首先考虑$x$轴方向, $i$和$j$只有两种位置关系

1. $i$在$j$的左边, 即$x_i\le x_j$, 其中$x_i,x_j$为物品在$x$轴的坐标;
2. $i$在$j$的右边, 即$x_i>x_j$.

下面我们构造有向图$D_x=(V,u^x,A_x)$. 其中

• $V=\{1,2,\dots ,n\}$是所有物品的集合.
• $u^x$为顶点权重的集合, 即$u_i^x=l_i$, $\forall i=1,2,\dots ,n$.
• $A_x$为弧(Arc)的集合. 如果$i$在$j$的左边, 则$(i,j)\in A_x$, 否则$(j,i)\in A_x$(如下图所示).
  注意: 如果$(i,j),(j,k)\in A_x$, 则$(i,k)\in A_x$. 换句话说, $D_x$无环.

令$S_x,T_x$分别代表$D_x$中入度(in-degree)为0和出度(out-degree)为0的点集. 以上图为例, $S_x=\{1,2\}$(蓝色的点), $T_x=\{4,6,7\}$(红色的点). 对任意的$s\in S_x$, $t\in T_x$, 用$P_{s,t}^x$代表从$s$到$t$的路径. 令$u(P_{s,t}^x)$代表$P_{s,t}^x$中顶点的总权重, 即
$$u(P_{s,t}^x)=\sum _{i\in P_{s,t}^x}{u}_i^x=\sum _{i\in P_{s,t}^x}{l}_i.$$

考虑到装入箱子的物品总长度不能超过箱子的长, 我们要求${\max }_{s\in S_x,t\in T_x}u(P_{s,t}^x)\le L$.

用类似的方法考虑$y$轴和$z$轴方向并构造$D_y=(V,u^y,A_y)$和$D_z=(V,u^z,A_z)$, 其中

• $u_i^y=w_i$, $u_i^z=h_i$, $i=1,2,\dots ,n$.
• $(i,j)\in A_y$表示$i$在$j$的后方(反之$i$在$j$的前方).
• $(i,j)\in A_z$表示$i$在$j$的下方(反之$i$在$j$的上方).

下面我们得到所有物品能装入箱子的充要条件:

1. $G=(V,E(A_x\cup A_y\cup A_z))$是一个团(Clique), 其中记号$E(A)$代表有向边集合$A$对应的无向边集合.
2. ${\max }_{s\in S_x,t\in T_x}u(P_{s,t}^x)\le L$.
3. ${\max }_{s\in S_y,t\in T_y}u(P_{s,t}^y)\le W$.
4. ${\max }_{s\in S_z,t\in T_z}u(P_{s,t}^z)\le H$.

搜索策略

结合前文的讨论, 我们先总结分支的因素:

• 需要比较任意两个物品之间的相对位置, 共有$C_n^2$种情况.
• 两个物品之间共有6种相对位置关系: 左右, 后前, 下上.
• 每种物品最多有6种不同的摆放方式: $(l,w,h),(l,h,w),(w,l,h),(w,h,l),(h,l,w),(h,w,l)$.

用$I_k(1\le k\le n)$表示一个装箱问题的实例, 其中物品集合为$\{1,2,\dots ,k\}$. 我们搜索的策略是用深度优先的方式依次判断$I_1,I_2,\dots ,I_n$的可行性. 设$I_k$可行. 考虑$I_{k+1}$时, 我们需要对比$(1,k+1),(2,k+1),\dots ,(k,k+1)$. 此外, 对每个物品对(pair) $(i,k+1)$, $1\le i\le k$, 我们要考虑$6\times 6=36$种相对位置和排放方式. 因此, 对$I_k$的任意一搜索节点, 它的分支数量是$36k$(示意图如下).

说明 : 从根节点root开始搜索. 第一层是判断$I_1$是否可行, 由于$I_1$包含1个物品, 因此只需要考虑6种摆放方式, 即$(1{)}^1,\dots ,(1{)}^6$; 第二层判断$I_2$是否可行, 需要比较两个物品$(1,2)$, 其中每个节点有36个分支, 对应6种相对位置关系和物品2的六种摆放方式的组合; 第三, 四层判断$I_3$是否可行, 需要比较$(1,3)$和$(2,3)$; 依次类推.

注意 : 分支前必须检查两个物品间是否已经有位置关系, 若有, 则当前节点不需要分支(确保无环). 例如, 如果物品1在物品2的左边, 物品2在物品3的左边, 那么物品1一定在物品3的左边, 因此无需比较物品3在物品1左边的情况.

优化策略

1. 物品的排序比较重要. 直观的做法是把物品按照体积由大到小排序.
2. 物品的摆放方式实际上是1-6种. 如果物品是立方体, 则只需要考虑1种摆放方式. 在实际中应该额外考虑三边相同和两边相同的情况.
3. 判定$I_2$时可以考虑物品的对称性, 因此相对位置只要考虑左, 后, 下.
4. 比较物品间的相对位置时按照"从外到内"的原则, 即右, 前, 上, 左, 后, 下.

可行性判定

考虑三维装箱实例$I_k$, $1\le k\le n$. 令$D_x^k,D_y^k,D_z^k$为$x,y,z$轴方向的有向无环图. 令$D^k=(D_x^k,D_y^k,D_z^k)$. 如上图所示, 我们的搜索过程需要判断$D^1,D^2,\dots ,D^n$的可行性. 考虑$D^k$: 顶点个数是$3k$, 边的个数是$O(k^2)$, 因此 最长路(顶点权重之和最大) 的计算可以在$O(k^2)$的时间内完成. 具体来说, 以$D_x^k$为例, 我们可以维护每个顶点$i(1\le i\le k)$的最长路程. 当考虑$D_x^{k+1}$时, 例如增加弧$(i,k+1)$或$(k+1,i)$, 我们只需要更新$k+1$所有子节点的最长路程即可.

时间复杂度

搜索树第$k$层(root是第0层)对应的节点数量是$36^{k-1}$. 如上图所示, 实例$I_k(\ge 2)$包含了$k-1$层. 因此, 从第二层到叶子节点一共有$n(n-1)/2$层. 因此, 搜索树的节点总数$N$为:
$$N=\sum _{k=1}^{n(n-1)/2}36^{k-1}+7=O(6^{n^2}).$$
每个节点判断可行性的时间为$O(n^2)$. 因此算法的时间复杂度为$O(6^{n^2}\cdot n^2)$.

公众号：生活研究生（mo_hulage）