【线性代数笔记】特征值和特征向量（更新）

目录

1. 定义

2. 计算

3. 性质

3.1 特征值的和等于矩阵的迹 

3.2 特征值的积等于矩阵的行列式 

4. 补充

5. 特殊矩阵的特征值和特征向量

参考资料

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1. 定义

大多数向量和矩阵相乘后会改变方向，但某些特定的向量和在同一方向上，这些特定的向量就是特征向量(Eigenvector)，就是特征值(Eigenvalue)。

• 是非零向量。
• 特征值可能为任意的实数。特征值为0时，对应的特征向量在的零空间(Nullspace)中。也就是说，如果矩阵是奇异的，它将有一个特征值为0。
•  ，矩阵平方，特征值也平方，特征向量不变。
• ，矩阵“平移”几个单位阵，特征值就“平移”几，特征向量不变。

2. 计算

 

特征向量组成的零空间。上式称为特征方程(Characteristic Equation)，如果有非零解，则不可逆，其行列式一定为0。

上式是关于的特征多项式，与无关。对每个特征值，解或者得到相应的特征向量。

3. 性质

3.1 特征值的和等于矩阵的迹 

证明：

由韦达定理和行列式定义可证。

3.2 特征值的积等于矩阵的行列式 

证明：

4. 补充

• 消元(Elimination)不保持特征值。

5. 特殊矩阵的特征值和特征向量

单位阵

马尔科夫矩阵

投影矩阵

旋转矩阵

(待补充)

参考资料

1. Introduction to Linear Algebra, Fifth Edition, Gilbert Strang.

2. MIT线性代数公开课。