【线性代数笔记】特征值和特征向量(更新)

目录

1. 定义

2. 计算

3. 性质

3.1 特征值的和等于矩阵的迹 

3.2 特征值的积等于矩阵的行列式 

4. 补充

5. 特殊矩阵的特征值和特征向量

参考资料


1. 定义

Ax=\lambda x

大多数向量和矩阵A相乘后会改变方向,但某些特定的向量xAx在同一方向上,这些特定的向量x就是特征向量(Eigenvector)\lambda就是特征值(Eigenvalue)。

  • x是非零向量。
  • 特征值可能为任意的实数。特征值为0时,对应的特征向量在A的零空间(Nullspace)中。也就是说,如果矩阵是奇异的,它将有一个特征值为0。
  • A^2x=\lambda Ax=\lambda^2x ,矩阵平方,特征值也平方,特征向量不变。
  • (A-I)x=Ax-x=\lambda x-x=(\lambda-1)x矩阵“平移”几个单位阵,特征值就“平移”几,特征向量不变。

2. 计算

 Ax=\lambda x \\ (A-\lambda I)x=0

特征向量组成A-\lambda I的零空间。上式称为特征方程(Characteristic Equation),如果有非零解,则A-\lambda I不可逆,其行列式一定为0

\det(A- \lambda I)=0

上式是关于\lambda的特征多项式,与x无关。对每个特征值\lambda,解(A-\lambda I)x=0或者Ax=\lambda x得到相应的特征向量。

3. 性质

3.1 特征值的和等于矩阵的迹 

\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n = trace(A)

证明:

由韦达定理和行列式定义可证。

3.2 特征值的积等于矩阵的行列式 

\lambda_1 \lambda_2 ... \lambda_n = \det(A)

证明:

\det(A-\lambda I) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda)...(\lambda_n - \lambda)

set \lambda = 0, then\det(A)=\lambda_1 \lambda_2 ... \lambda_n

4. 补充

  • 消元(Elimination)不保持特征值。

5. 特殊矩阵的特征值和特征向量

单位阵

马尔科夫矩阵

投影矩阵

旋转矩阵

(待补充)

参考资料

1. Introduction to Linear Algebra, Fifth Edition, Gilbert Strang.

2. MIT线性代数公开课。

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