因果推理（七）：Unobserved Confounding: Bounds and Sensitivity Analysis

上一章的估计过程的一个前提是我们掌握了去混杂的充分调整集。也就是说，我们确定W是一个充分调整集的时候，我们可以用下面的公式计算因果量。


然而，很多时候，可能会存在没有被我们观测到的混杂因素，比如上图中的U。在这种情况下，我们需要同时对W和U进行调整，但由于我们没有观察到U，势必不会调整U，这就使得我们的估计结果产生了误差。这一章，我们将探讨这个误差的大小及其对整个结果的影响。

1. Bounds

在因果推理中，我们定义了一个很强的假设“Unconfoundness”，满足unconfoundness，我们就可以对因果量进行精确的无偏估计。然而，在现实中一般会存在unobserved confounding，这使得我们的unconfoundnessJ假设过强了。为此，我们可以定义一个较弱的假设，然后得到的估计结果会是一个区间。

No-Assumptions Bound

假设潜在结果的取值为$a$到$b$之间，则个体干预效应和平均干预效应的取值都在$a-b$和$b-a$之间。即下图的边界潜在结果假设成立时，下面两式子成立。

$$a-b\le Y_i(1)-Y_i(0)\le b-a$$

$$a-b\le \mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]\le b-a$$

上式中ITE和ATE的边界的长度均为$2(b-a)$（这个长度被称为 trivial length）。然而，神奇的是，对于ATE，我们可以将其长度减半。

ATE的公式可以写成下面这样：

在上面的式子中，蓝色表示的是观察变量，红色标注的是反事实变量。我们将上式称为观察-反事实分解（observational-counterfactual decomposition）。令$\pi \triangleq P(T=1)$，可以将观察-反事实分解表示为下式：

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]=& \pi \mathbb{E}[Y\mid T=1]+(1-\pi )\mathbb{E}[Y(1)\mid T=0]\\ & -\pi \mathbb{E}[Y(0)\mid T=1]-(1-\pi )\mathbb{E}[Y\mid T=0]\end{array}$$

因为Y的取值是a到b，所以对于上式中可以观察到的变量$E[Y|T=1]$和$E[Y|T=0]$，其取值为a到b，而对于反事实变量，在没有任何假设的情况下，我们不能确定他的取值范围。因此，有

$$\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]\le \pi \mathbb{E}[Y\mid T=1]+(1-\pi )b-\pi a-(1-\pi )\mathbb{E}[Y\mid T=0]$$

$$\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]\ge \pi \mathbb{E}[Y\mid T=1]+(1-\pi )a-\pi b-(1-\pi )\mathbb{E}[Y\mid T=0]$$

于是，$\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]$的边界长度为上面两个不等式的右值相减，其结果为$b-a$，也就是说，无假设边界长度为$b-a$。

下图是一个例子：

无假设边界对应的间隔是中包含0，这意味着我们不能用它来判断有因果效应还是没有因果效应。

上述假设潜在实验结果$Y(1)$和潜在对照结果$Y(0)$的取值都在$a$到$b$之间，当潜在实验结果和潜在对照结果的取值范围不一致时，也可以按照上述方法得出ATE边界间隔长度。

Monotone Treatment Response(MTR)

假设干预总是有用，也就是说：

那么，$E[Y(1)|T=0]\ge E[Y|T=0]$，$E[Y(0)|T=1]\le E[Y|T=1]$，于是有，

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]=& \pi \mathbb{E}[Y\mid T=1]+(1-\pi )\mathbb{E}[Y(1)\mid T=0]\\ & -\pi \mathbb{E}[Y(0)\mid T=1]-(1-\pi )\mathbb{E}[Y\mid T=0]\\ \ge & \pi \mathbb{E}[Y\mid T=1]+(1-\pi )\mathbb{E}[Y\mid T=0]\\ & -\pi \mathbb{E}[Y\mid T=1]-(1-\pi )\mathbb{E}[Y\mid T=0]\\ =& 0\end{array}$$

于是得到非负MRT下界（Nonnegative MTR Lower Bound）：

将非负MRT假设用到上面的例子上，可以将ATE的间隔缩小：

上面介绍的是非负MTR，下面介绍非正MTR。

假设treatment总是产生负面影响（例如枪伤对于活着），也就是：

此时得到非正MTR上界（Nonpositive MTRUpper Bound）：

此时例子的ATE间隔变为：

Monotone Treatment Selection (MTS)

MTS是假设干预组的潜在结果好于控制组的潜在结果：

可以将这是为一种积极的自我选择，那些通常获得较好结局的患者会自行选择治疗组。

在这种假设下，我们可以得到MTS上界：

证明:

将MTS上界运用到例子中：

Optimal Treatment Selection (OTS)

最佳干预选择假设是说：对于干预组，潜在实验结果优于潜在对照结果；对于控制组，潜在对照结果优于潜在实验结果。即下图所述。

根据上述OTS假设，我们可以得到，

$$E[Y(0)|T=1]\le E[Y(1)|T=1]=E[Y|T=1]$$
$$E[Y(1)|T=0]\le E[Y(0)|T=0]=E[Y|T=0]$$

用$E[Y(1)|T=0]$的上边界$E[Y|T=0]$和$-E[Y(1)|T=0]$的上边界$-a$，我们可以计算得到ATE的上边界：

同样，可以得到ATE的下边界：

OTS边界：

例子：

在上面的例子中，仅仅有潜在结果取值限制（0-1）的时候，我们得到的ATE区间为[-0.17, 0.83]，区间长度为1。加入非负MTR假设，ATE区间为[0, 0.83]，非正MTR假设下ATE区间为[-0.17, 0]。在MTS假设下，ATE区间为[0, 0.7]，区间长度为0.7。OTS假设下，ATE区间为[-0.14, 0.27]，区间长度为0.41。虽然OTS假设的限制缩短了ATE区间长度，但是0仍然在其区间中。

利用OTS假设，我们不仅可以得到$E[Y(1)|T=0]\le E[Y|T=0]$，我们还可以得到$E[Y(1)|T=0]\le E[Y|T=1]$。证明如下：

于是，

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]=& \pi \mathbb{E}[Y\mid T=1]+(1-\pi )\mathbb{E}[Y(1)\mid T=0]\\ & -\pi \mathbb{E}[Y(0)\mid T=1]-(1-\pi )\mathbb{E}[Y\mid T=0]\\ \le & \pi \mathbb{E}[Y\mid T=1]+(1-\pi )\mathbb{E}[Y\mid T=1]\\ & -\pi a-(1-\pi )\mathbb{E}[Y\mid T=0]\\ =& \mathbb{E}[Y(1)\mid T=0]-\pi a-(1-\pi )\mathbb{E}[Y\mid T=0]\end{array}$$

同样的，我们可以得到
$$\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]\ge \pi \mathbb{E}[Y\mid T=1]+(1-\pi )a-\mathbb{E}[Y\mid T=0]$$

于是，我们得到OST边界2：

将例子应用到OST边界2：

用这种假设方法得到的ATE区间虽然间隔长度比OTS1边界的间隔大，但是它的区间中不包含0，也就是说它识别了ATE（identify the sign of the effect）。【包含0意味着什么？？】

因为OTS Bound 1 和OTS Bound 2 都是基于同样的假设，因此对于上面的例子，我们可以将两个区间合并，得到ATE的范围为：
$$0.07\le \mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]\le 0.27$$
这样就得到了一个可以identify the sign的更小区间。

综上，越强的假设会带来越精确的ATE计算结果，但是这可能会使我们的结果不太可靠，因为假设很强。在具体的应用中，应该要学会权衡如何选择一个看起来还可以，并且可以计算出有意义的结果的假设。具体可参考论文：[Manski (1990), ‘Nonparametric Bounds on Treatment Effects’]

2. Sensitivity Analysis

Sensitivity Basics in Linear Setting

回到本章一开始时的问题，如果充分调整集是$W,U$，但由于$U$是观察不到的变量，我们只能对$W$进行调整，这将会产生多大的误差？

我们以一个线性结构因果模型为例，来探讨这个问题。

假设上面(b)图的结构因果模型如下：

$$\begin{gathered} T:={\alpha }_{w}W+{\alpha }_{u}U \\ Y:={\beta }_{w}W+{\beta }_{u}U+\delta T \end{gathered}$$

通过$Y$的结构方程可以看出，$T$对$Y$的因果效应为$\delta$，也就是说，
$$\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]={\mathbb{E}}_{W,U}[\mathbb{E}[Y\mid T=1,W,U]-\mathbb{E}[Y\mid T=0,W,U]]=\delta$$
通过计算，我们可以得到，
$${\mathbb{E}}_W[\mathbb{E}[Y\mid T=1,W,U]-\mathbb{E}[Y\mid T=0,W,U]]=\delta +\frac{{\beta }_u}{{\alpha }_u}$$

计算过程：

于是，只调整$W$而忽略$U$时的误差为$\frac{{\beta }_u}{{\alpha }_u}$：

下图是误差等高线图，（a）是误差等高线，（b）是ATE计算结果等高线（精确值为25），两图的横坐标代表$\frac{1}{{\alpha }_u}$，纵坐标代表${\beta }_u$。

文献中常常使用这种等高线图的方法来进行敏感度分析。

More General Settings

上面的分析中设定了$T$是$W$和$U$的线性函数，$Y$是$T$、$W$和$U$的线性函数。而在实际中，结构方程往往是更加复杂的形式。在更加复杂的情况下进行敏感度分析，是目前的一个研究方向，下面只介绍一些工作及其边际价值。