梯度下降法求解多元线性回归模型

机器学习多元线性回归模型

如果有两个或两个以上的自变量，这样的线性回归分析就称为多元线性回归

实际问题中，一个现象往往是受多个因素影响的，所以多元线性回归比一元线性回归的实际应用更广

梯度下降法求解线性回归

退化到一元线性回归，就有

梯度下降法法参数

• α 在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长
• 这意味着我们可以通过 α 来控制每一步走的距离，以保证不要走太快，错过了最低点；同时也要保证收敛速度不要太慢
• 所以 α 的选择在梯度下降法中往往是很重要的，不能太大也不能太小

梯度下降法和最小二乘法

相同点

• 本质和目标相同：两种方法都是经典的学习算法，在给定已知数据的前提下利用求导算出一个模型（函数），使得损失函数最小，然后对给定的新数据进行估算预测

不同点

• 损失函数：梯度下降可以选取其它损失函数，而最小二乘一定是平方损失函数
• 实现方法：最小二乘法是直接求导找出全局最小；而梯度下降是一种迭代法
• 效果：最小二乘找到的一定是全局最小，但计算繁琐，且复杂情况下未必有解；梯度下降迭代计算简单，但找到的一般是局部最小，只有在目标函数是凸函数时才是全局最小；到最小点附近时收敛速度会变慢，且对初始点的选择极为敏感

代码实现

# 简单线性回归（梯度下降法）
### 0.引入依赖
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

### 1.导入数据
points = np.genfromtxt('data.csv',delimiter=',')

points[0,0]

#提取points中的两列数据，分别作为x, y
x = points[:, 0]
y = points[:, 1]

#用plt画出散点图
plt.scatter(x,y)
plt.show()

### 2.定义损失函数
# 损失函数是系数的函数，另外还要传入数据的x，y
def compute_cost(w, b, points):
    total_cost = 0
    M = len(points)
    
    #逐点计算平方损失误差，然后求平均数
    for i in range(M):
        x = points[i, 0]
        y = points[i, 1]
        total_cost += (y - w*x -b) ** 2
    return total_cost/M

### 3.定义模型的超参数
alpha = 0.0001
initial_w = 0
initial_b = 0
num_iter = 10

### 4.定义核心梯度下降算法的函数
def grad_desc(points, initial_w, initial_b, alpha, num_iter):
    w = initial_w
    b = initial_b
    #定义一个list保存所有的损失函数值，用来显示下降的过程
    cost_list = []
    
    for i in range(num_iter):
        cost_list.append(compute_cost(w, b, points))
        w, b = step_grad_desc(w, b, alpha, points)
        
    return [w, b, cost_list]

def step_grad_desc(current_w, current_b, alpha, points):
    sum_grad_w = 0
    sum_grad_b = 0
    M = len(points)
    
    # 对每个点，代入公式求和
    for i in range(M):
        x = points[i, 0]
        y = points[i, 1]
        sum_grad_w += (current_w * x + current_b - y) * x
        sum_grad_b += (current_b * x + current_b - y)
        
    # 用公式求当前梯度
    grad_w = 2/M * sum_grad_w
    grad_b = 2/M * sum_grad_b
    
    # 梯度下降，更新当前的w和b
    updated_w = current_w - alpha * grad_w
    updated_b = current_b - alpha * grad_b
    
    return updated_w, updated_b


### 5.测试：运行梯度下降算法计算最优的w和b
w, b, cost_list = grad_desc(points, initial_w, initial_b, alpha, num_iter)

print("w is: ", w)
print("b is: ", b)

cost = compute_cost(w, b, points)
print("cost is : ",cost)

plt.plot(cost_list)
plt.show()

### 6.画出拟合曲线
plt.scatter(x, y)

# 针对每一个x，计算得出预测的y值
pred_y = w * x + b

plt.plot(x, pred_y, c='r')
plt.show()